El p-norma está dada por $||x||_{p} = (\sum_{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p})^{1/p}$. For $0 < p < q$, it can be shown that $||x||_{p} \geq ||x||_{q}$ (1, 2). It sppears that in $R^{n}$ a number of opposite inequalities can also be obtained. In fact, since all norms in a finite-dimensional vector space are equivalent, this must be the case. So far, I only found the following: $||x||_{1} \leq \sqrt n ||x||_{2}$(3), $||x||_{2} \leq \sqrt n ||x||_{\infty}$ (4). Geometrically, it is easy to see that opposite inequalities must hold in $R^{n}$. For instance, for n=2 and n=3 one can see that for $0 < p < q$, the spheres with radius $\sqrt n$ with $||.||_{p}$ inscribe spheres with radius 1 with $||.||_{q}$.
No es difícil demostrar la desigualdad (4). De acuerdo a Wikipedia, la desigualdad (3) se deduce directamente de Cauchy-Schwarz, pero no veo cómo. Para n=2 es fácilmente constatable (ver más abajo), pero no para n>2. Así que mi pregunta es:
- ¿Cómo puede la relación (3) ser probado por cualquier código n?
- Este puede ser generalizada en algo de la forma $||x||_{p} \leq C ||x||_{q}$ arbitrarias $0<p < q$?
- Hacer cualquiera de las relaciones también es válida para los espacios de infinitas dimensiones, es decir, en $l^{p}$ espacios?
Notas:
$||x||_{1}^{2} = |x_{1}|^2 + |x_{2}|^2 + 2|x_{1}||x_{2}| \leq |x_{1}|^2 + |x_{2}|^2 + (|x_{1}|^2 + |x_{2}|^2) = 2|x_{1}|^2 + 2|x_{2}|^2 = 2 ||x||_{2}^{2}$, por lo tanto $||x||_{1} \leq \sqrt 2 ||x||_{2}$. Esto funciona debido a que $|x_{1}|^2 + |x_{2}|^2 \leq 2|x_{1}||x_{2}|$, pero sólo porque $(|x_{1}| - |x_{2}|)^2 \geq 0$, mientras que para más de dos mandatos $(|x_{1}| \pm |x_{2}| \pm ... \pm |x_{n}|)^2 \geq 0$ da una desigualdad de la que nunca se le da el derecho de los signos de la cruz términos.
