La debilidad de la convergencia en $L^q$, pero no en $L^p$ donde $1\leq p<q<\infty$?

Question

He estado tratando de encontrar una secuencia $\{f_n\}$ de las funciones en $[0,1]$ que converge débilmente en $L^q$ pero no converge débilmente en $L^p$ donde $1\leq p<q<\infty$. Estoy atascado y todas las sugerencias serán bienvenidos.

(Me parece que esto es complicado debido a que las secuencias se definen en $[0,1]$, y las funciones que puede extenderse hasta el infinito. Ya estamos trabajando en $[0,1]$,$L^q\subset L^p$.)

Las funciones del ejemplo a continuación se no se admite en $[0,1]$.

Answer 1

Lo siento de pasar por alto el requisito de que las funciones son compatibles en $[0,1]$. Si esta condición se agrega, entonces la afirmación es verdadera.

Directamente de la definición, $f_n$ converge débilmente a $f\in L^q$ fib para cada $g\in L^{q^*}$,

$$\int f_ng\to \int fg,$$

donde $1/q+1/q^*=1$. Desde $p<q$, $p^*>q^*$, por lo $L^{p^*}([0,1])\subset L^{q^*}([0,1])$. A continuación, por encima de la convergencia es válido para cada $g\in L^{p^*}$. Esto implica $f_n$ converge débilmente a$f$$L^p$. Como una comprobación de validez, vemos que $f$ $L^p$ porque $L^q([0,1])\subset L^p([0,1])$.

De forma más concisa, esto es porque lineal continua y mapas entre espacios de Banach son también débilmente continua (Véase el Teorema 1.1 del Capítulo 6 de Conway, Un Curso en Análisis Funcional).

Apenas para la referencia, el resultado es falso si las funciones son compatibles en $\mathbb R$.

Deje $r\in(p,q)$ $f_n=n^{-1/r}$ $[0,n]$ $f_n=0$ en otros lugares. Entonces

$$\|f_n\|_{q}=(n\cdot n^{-q/r})^{1/q}=n^{1/q-1/r}\to 0$$

como $n\to\infty$, lo $f_n\to0$$L^q$. Por otro lado, se reemplazan $q$ $p$ en la desigualdad anterior para obtener

$$\|f_n\|_{p}=n^{1/p-1/r}\to\infty$$

como $n\to\infty$. Por el acotamiento uniforme principio (entre otros métodos), $f_n$ no converge débilmente en $L^p$.