Mostrar que si $n$ es compuesto, entonces $\phi(n) \leq n-\sqrt{n}$

Question

Por favor ayuda me muestra esto:

Si $n$ es compuesto, entonces $\phi(n) \leq n-\sqrt{n}$.

Yo no proceder a partir de la definición de la función de Euler $\phi(n)$. Primero de todo si $n$ es compuesto, entonces significa que se puede escribir como un producto de números primos que son únicos. Así que eso es lo que yo sé hasta ahora y no sé cómo proceder a partir de ese punto.

Answer 1

Sugerencia(uno de mis mejores soluciones):

1. Si podemos escribir $n=ab$ $a$ $b$ son coprime $\varphi(n)=\varphi(a)\varphi(b)$ $\varphi(a)\leq a-1$ $\varphi(b)\leq b-1$ y a la conclusión de que $$\varphi(n)\leq ab-a-b+1\leq ab-\sqrt{ab}$$
2. Si no podemos escribir $n=ab$ $a$ $b$ coprime, a continuación, $n=p^k$ som $k$ $p$ principales, pero en este caso: $$\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}\leq p^k-p^{\frac{k}{2}} $$ debido a $k> 1$