La forma cerrada para $\sum_k \frac{1}{\sqrt{k}}$

Question

Me gustaría saber si hay alguna equivalencia:

$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = \log n + \gamma + \frac{1}{2n} - \sum_{k=1}^\infty \frac{B_{2k}}{2kn^{2k}}$$

Pero para definir $E(n)$ en la:

$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^{1/2}} =2 \sqrt{n} + \zeta(\frac{1}{2}) + \frac{1}{2\sqrt{n}} + E(n)$$

(Para $n$ un entero $n>1$)

Me gustaría expresar el término de error como una suma/de la serie en lugar de una integral. No he encontrado nada en Internet, pero los términos de error usando big-O notación. La única fórmula exacta que he encontrado es:

$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^{1/2}} = \zeta(\frac{1}{2}) - \zeta (\frac{1}{2}, n+1)$$

No sé hoy para llegar desde allí a $E(x)$. Alguna ayuda?

Gracias.

Answer 1

De acuerdo a la de Euler-Maclaurin suma fórmula, tenemos

$$\sum_{k=1}^n\frac1{\sqrt k}=2\sqrt n+\zeta(1/2)+\frac1{2\sqrt n}+\sum_{k=1}^\infty\frac{B_{2k}}{(2k)!}\binom{-1/2}{2k-1}n^{\frac12-2k}$$

Observe que todos los términos constantes se convirtió en $\zeta(1/2)$, que sigue desde:

$$\zeta(1/2)=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac1{\sqrt k}-\int_0^n\frac1{\sqrt x}\ dx\\\zeta(1/2)=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac1{\sqrt k}-\int_0^n\frac1{\sqrt x}\ dx-\underbrace{\frac1{2\sqrt n}-\sum_{k=1}^\infty\frac{B_{2k}}{(2k)!}\binom{-1/2}{2k-1}n^{\frac12-2k}}_{\to0}$$

Cuenta de la similitud de sus otros resultado por $\sum\frac1n$.

Answer 2

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[8px,border:1px groove armada]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$

El otro está dada por una identidad bien conocida:

\begin{align} \sum_{k = 1}^{n}{1 \over k^{1/2}} & = 2\root{n} + \zeta\pars{1 \over 2} + {1 \over 2}\int_{n}^{\infty}{\braces{x} \over x^{3/2}}\,\dd x \end{align}

Tenga en cuenta que $\ds{0 < {1 \over 2}\int_{n}^{\infty}{\llaves{x} \over x^{3/2}}\,\dd x < {1 \over 2}\int_{n}^{\infty}{\dd x \sobre x^{3/2}} = {1 \over \raíz{n}}}$ tal que

$$ 2\raíz{n} + \zeta\pars{1 \over 2} < \sum_{k = 1}^{n}{1 \over k^{1/2}} < 2\raíz{n} + {1 \over \raíz{n}} + \zeta\pars{1 \over 2} $$ y $$ \sum_{k = 1}^{n}{1 \over k^{1/2}} \approx 2\raíz{n} + {1 \over 2\raíz{n}} + \zeta\pars{1 \over 2}\quad \mbox{con}\ absoluta\ error\ < {1 \over 2\raíz{n}} $$