Juego con números primos relativos

Question

Tenemos un juego para dos jugadores en el que empiezas con un número $s_0$ y luego tienes un número de meta $g$ (con $1 < g < s_0$ ). Ambos $s_0$ y $g$ son números naturales. Cada turno eliges un nuevo número $s_n$ siguiendo estas normas:

1. $s_n$ debe ser inferior al número anterior $s_{n-1}$ ,
2. $s_n$ debe ser siempre relativamente primo de $s_{n-1}$ ,
3. Los números que elijas nunca pueden ser inferiores a tu número objetivo $g$ .

El jugador que consiga escribir/elegir el número de la portería gana la partida.

Ya he calculado un ejemplo con $s = 27$ y $g = 15$ . Si el jugador 1 elige $s_1 = 20$ en la primera ronda, entonces el jugador 2 debe elegir $s_2 = 19$ o $s_2 = 17$ en la segunda ronda. En cualquier caso, el jugador 1 puede elegir $s_3 = 15$ en la tercera ronda, y gana la partida.

Supongamos $g$ es un número par. ¿Qué valores de $s_0$ garantizará que el primer jugador gane la partida? Sé que mientras $s_n$ también es un número par nunca se puede elegir $g$ en tu turno. Así que el truco parece ser asegurarse de que su oponente termina con un incluso $s_n$ . ¿Hay alguna manera de demostrar que para cualquier número impar $x$ siempre puedes encontrar un número par $y$ que es primo relativo de $x$ ? En ese caso, basta con establecer un número impar como $s_0$ y el primer jugador ganará eligiendo $y$ como $s_n$ siempre.

Answer 1

Si $g$ es par y $s_0$ es impar, entonces el jugador $1$ tiene una estrategia ganadora.

Prueba : Jugador $1$ comienza con $s_0-1$ un número par. Jugador $2$ debe elegir un número impar. Jugador $1$ disminuye de nuevo en $1$ . Esto se repite hasta que $g$ se alcanza.

Si $s_0$ es par, entonces el jugador $2$ ganará porque siempre puede "caer" en otro número par.

En resumen : Si $g$ es par, el jugador $1$ tiene una estrategia ganadora si y sólo si $s_0$ es impar. Además, la estrategia ganadora es terriblemente aburrida : El jugador ganador sólo tiene que elegir el número actual disminuido en $1$ .