Esta pregunta es acerca de un problema sin resolver en el Chad Groft excelente preguntay John Stillwell excelente respuestade . Ya que me parece la posibilidad de una respuesta afirmativa tan tentadora, me gustaría proseguir aquí.
Para el fondo, el Arroz del Teorema de afirma esencialmente que no trivial pregunta acerca de computably conjuntos enumerables es decidable. Si We es el conjunto enumerados por el programa de e, entonces el teorema de los estados:
Arroz del Teorema. Si a es una colección de computably enumerable y los conjuntos { e | We ∈ A } es decidable, entonces a es vacío o contiene todos los computably conjuntos enumerables.
En resumen, uno puede decidir esencialmente nada acerca de un programa de correo, si la respuesta es solo depende de lo que el programa calcula en lugar de cómo se calcula.
La pregunta aquí es acerca de la medida en que una similar el fenómeno tiene para finitely presentan grupos, utilizando la la analogía entre los programas y el número limitado de presentaciones de grupo:
- un programa de correo es como una presentación de un grupo finito p
- el conjunto We enumerados por e es como el grupo de ⟨p⟩ presentado por p.
De acuerdo a esta analogía, el análogo de Arroz del teorema de estado en el que cualquier decidable colección de finitely presentan grupos (cerrado bajo isomorfismo) debe ser trivial o todo. John Stillwell señaló en respuesta a Chad Groft del la pregunta que esto no es cierto, porque a partir de una presentación p podemos encontrar fácilmente una presentación de la abelianization de ⟨p⟩, insistiendo en que todos los generadores de viaje, y muchos no trivial de preguntas son decidable sobre finitely presentado abelian grupos. De hecho, desde la teoría de la abelian grupos es un decidable teoría, habrá muchas preguntas interesantes acerca de finitely presentado abelian los grupos que se decidable de sus presentaciones.
Mi pregunta es si este es el único obstáculo.
Pregunta. ¿De Arroz del teorema de mantener para finitely presentan grupos modulo abelianization?
En otras palabras, si Una es un conjunto de finitely presentan grupos (cerrado bajo isomorfismo) y el correspondiente conjunto de presentaciones { p | ⟨p⟩ ∈ A } es decidable, a continuación, hace Una completamente reducir a una pregunta acerca de la abelianizations de los grupos, en el sentido de que existe un conjunto B de abelian grupos tales que G ∈ A iff Ab(G) ∈ B?
Por supuesto, en este caso B se compone exactamente de la abelian grupos en A. La pregunta es equivalente a preguntar si Un respete la equivalencia de los grupos isomorfos abelianizations. En otras palabras, debe ser que G ∈ A iff Ab(G) ∈ A? La cuestión es preguntarse si cada decidable conjunto de finitely presentado los grupos de las cantidades efectivamente a un decidable conjunto de abelian grupos, extendida a todos finitely presentado los grupos, saturando con respecto a abelianization.
En particular, el conjunto debe contener o ninguno de ellos, todo perfecto grupos.
Una respuesta afirmativa parece proporcionar una completa explicación de la amplitud de la undecidability fenómeno en presentaciones de grupo. Pero tal vez esto puede ser simplemente demasiado de la esperanza de...
En cualquier caso, supongo que no es una relación de equivalencia sobre finito presentaciones de grupo, diciendo que p ≡ q sólo en caso de que ⟨p⟩ y ⟨p⟩ tienen la misma respuesta con respeto a cualquier decidable pregunta acerca de finitely presentan grupos. La pregunta anterior la pregunta de si esta relación de equivalencia es sólo Ab(⟨p⟩) = Ab(⟨p⟩). Si esto resulta no ser cierto, entonces, ¿qué puede decirse acerca de la ≡?
