¿Cómo puedo demostrar que no hay un orden de isomorfismo b/w los dos conjuntos de $\{1, 2, 3,...\}$ $\{1, 2, 3, ..., \omega \}$

Question

Es decir, ¿cómo puedo demostrar que no hay un bijection $f$ a partir de un conjunto a otro, tales que $f(x) < f(y)$ fib $x < y$?

Answer 1

Supongamos que $f:\{1,2,3,\dots\}\to\{1,2,3,\dots,\omega\}$ es una orden-la preservación de bijection. Debe haber alguna $n\in\{1,2,3,\dots,\}$ tal que $f(n)=\omega$. ¿Qué puede $f(n+1)$?

Answer 2

Observe que una orden de isomorfismo conserva propiedades máximo, es decir, si $a$ es un máximo, a continuación, $f(a)$ es una máxima de la imagen.

En particular, un linealmente conjunto ordenado con un máximo nunca es isomorfo a uno sin.