Contraejemplo a una "modificación" de Punto Fijo de Banach Teorema?

Question

El teorema de Banach que indica que si una (auto) mapa de un espacio métrico completo es de Lipschitz con relación $< 1$, tiene un único punto fijo. ¿Qué acerca de la modificación de las hipótesis a decir que la única condición que el mapa satisface es que $d(x, y) > d(f(x), f(y))$ donde $x, y$ están en el dominio? (Creo que esta condición se conoce como "débilmente contratante" creo que este tipo de mapa fijar un punto si el espacio métrico eran compactas, pero ¿qué pasa en el caso general, donde el espacio métrico no es compacto? Hay un contraejemplo?

Answer 1

$$ \frac{3x + \sqrt {x^2 + 1}}{4} $$

Answer 2

$X=[1,\infty)$ con la habitual metrix, $f(x)=x+e^{-x}$. Uso Valor medio el Teorema de comprobar que la hipótesis se cumple.