Producto de todos los elementos finitos abelian grupo sea igual a su propia inversa

Question

Deje $G = \{e, a_1, a_2, \dots, a_n\}$ ser un número finito de abelian grupo y que $S$ ser el conjunto de todos los elementos de a $G$ que no son iguales a los de su propia inversa. El conjunto $S$ puede ser dividido en dos, de manera que cada elemento está vinculado con su propia inversa. Demostrar que $(a_1 a_2 \dots a_n)^2 = e$.

Cada $x$$G$, fuera de $S$ permanece por $x^2 = e.$

Deje $a_i$$S$. Desde $G$ es abelian, tenemos

$a_ia_i^{-1} = a_i^{-1}a_i$

$e = a_i^{-1}a_i$

Desde $a_i^{-1} = a_i$, $a_i^2 = e.$

Por lo tanto, $\dots a_i^2a_j^2\ldots a_n^2 = e.$

¿Que sentido?

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Tenemos que demostrar a$a_1a_2...a_na_1a_2...a_n = e$, ¿verdad? Deje $a_i$$G \setminus S$. A continuación,$(a_i)^2$$e$, es? Si nos reorganizar los elementos en el lado izquierdo de la ecuación anterior de acuerdo a lo que pertenece a $S$ y lo que pertenece a $G \setminus S$ y tomar el producto de todos los $(a_i)^2$, entonces cada elemento perteneciente a $G \setminus S$ será cancelado en el lado derecho de la $a_1a_2...a_na_1a_2...a_n = e$. Así, sólo tenemos que considerar los elementos en $S$. Supongamos $a_j \in S$. Deje $a_k$ ser la inversa de a $a_j$. Tenemos que demostrar a $(a_j)^2 \cdot (a_k)^2 = a_j \cdot a_j \cdot a_k \cdot a_k = e$. Desde $S$ es abelian , $a_j \cdot a_j \cdot a_k \cdot a_k$ puede ser reorganizado como $a_j \cdot a_k \cdot a_j \cdot a_k$$e$.

Answer 1

Pruebe este sencillo argumento:

• El mapa de $\phi(x)=x^{-1}$ es un homomorphism y por lo $\phi(a_1 a_2 \cdots a_n) = \phi(a_1) \phi(a_2) \cdots \phi(a_n)$.

• El mapa de $\phi$ es un bijection y por lo $\phi(a_1) \phi(a_2) \cdots \phi(a_n)= a_1 a_2 \cdots a_n$.

• Por lo tanto, $a_1 a_2 \cdots a_n$ es su propia inversa, lo que implica que $(a_1 a_2 \cdots a_n)^2=e$.

Tenga en cuenta que las dos primeras partes se basan en el grupo abelian.