La prueba de UNO $\uparrow G_{po}^s(X) \Rightarrow$ UNA $\uparrow G_{po}(X) $ .

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio topológico. El juego por puntos $G_{po}(X)$ se define como sigue. Lo juegan dos jugadores UNO y DOS. En el n'º paso $(n \in \omega)$ , UNO elige un subconjunto finito $F$ de $X$ , y TWO selecciona un $G_n$ en $X$ , $F_n \subset G_n$ . UNO gana si $\bigcup \{ G_n : n \in \omega \} = X$ Si no es así, ganan dos.

También:

Dejemos que $X$ sea un espacio topológico. El juego abierto por puntos estricto $G_{po}^s(X)$ se define como sigue. Lo juegan dos jugadores UNO y DOS. En el n'º paso $(n \in \omega)$ , UNO elige un subconjunto finito $F$ de $X$ , y TWO selecciona un $G_n$ en $X$ , $F_n \subset G_n$ . UNO gana si $\underline {Lim} G_n = X$ Si no es así, ganan dos.

Teorema 1 aquí (página 154) afirma que UNA $\uparrow G_{po}^s(X)$ si UNO $\uparrow G_{po}(X)$ .

Hay una notación en la prueba con la que no estoy familiarizado y que no me queda clara. Para demostrar la dirección no trivial, los autores asumen que S es una estrategia ganadora para UNO en UNO $\uparrow G_{po}(X)$ . Afirman entonces que "una secuencia $\langle \langle F_i,G_i \rangle : i < \omega \rangle$ es compatible con S, si $F_i$ es finito, $G_i$ está abierto, $F_i \subset G_i$ para $i < \omega$ y, para cualquier $k < \omega$ , $S(\langle G_i : i<k \rangle) \subset F_k$ ".

No entiendo el significado de la notación $S(\langle G_i : i<k \rangle)$ . Tampoco se explica previamente en el artículo. ¿Alguna ayuda?

Gracias.

p.d. UNO $\uparrow G_{po}(X)$ significa: UNO tiene una estrategia ganadora en $G_{po}(X)$

Answer 1

Permítanme empezar con dos renuncias. Esto es más o menos lo que está escrito en A. Comentarios de Bellmunt . Y no he mirado el resto de la prueba, sólo he intentado responder al significado de la parte concreta por la que pregunta el OP.

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Para entender el significado de $S(\langle G_i; i<k \rangle)$ sólo tenemos que entender qué es una estrategia.

Una estrategia para el jugador I es una función $S$ que, en función de los movimientos realizados por los jugadores hasta el momento, me dice qué jugar a continuación.

Así que, en la primera jugada, no se ha jugado nada hasta ahora y una estrategia me dice qué es $A_1$ el primer conjunto que debe jugar UNO. Es decir. $S(\langle\rangle)=A_1$ . (El $\langle\rangle$ representa la lista de todos los movimientos realizados hasta el momento).

Ahora DOS hace algún movimiento $G_1$ . La estrategia le dice a UNO lo que debe jugar a continuación. Es decir, debe ser $S(\langle A_1,G_1\rangle)=A_2$ . Pero como $A_1$ está determinada únicamente por la estrategia elegida, los autores simplemente la omiten y utilizan $S(\langle G_1\rangle)=A_2$ . (Estoy más acostumbrado a la primera notación, donde la estrategia es algo que asigna el siguiente movimiento basado en la secuencia de movimientos de ambos jugadores. Evidentemente, algunas personas utilizan una convención diferente).

En el siguiente paso, si los jugadores han jugado hasta ahora sus movimientos $\langle A_1,G_1,A_2,G_2\rangle$ el siguiente movimiento de UNO es $S(\langle G_1,G_2\rangle)=A_3$ . (O, en la notación a la que estoy acostumbrado, $S(\langle A_1,G_1,A_2,G_2\rangle)=A_3$ .) Y así sucesivamente.

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Fijémonos en una cosa más. Si la estrategia ganadora le dice a UNO que juegue un set $A_n$ en el $n$ -ésima etapa, si elige jugar algún conjunto finito $F_n\supseteq A_n$ Esta estrategia también funciona para él. (Dado que su objetivo es hacer que el conjunto $\liminf G_n$ lo más grande posible).

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Así que ahora la frase que has copiado del artículo dice simplemente esto: Llamaremos a una secuencia $\langle F_i,G_i; i<\omega\rangle$ compatible con la estrategia $S$ si esta secuencia representa una posible ejecución del juego, en la que el jugador UNO juega exactamente según la estrategia $S$ . (Con la pequeña diferencia de que también se le permite elegir conjuntos finitos más grandes. Por eso se escribe $S(\langle G_i; i<k\rangle)\subset F_k$ y no $S(\langle G_i; i<k\rangle)=F_k$ .)