Siempre he conocido el famoso lema de Hensel en la teoría de los números que nos permite levantar las soluciones de una ecuación $f(x) \equiv 0 \pmod p$ a soluciones modulares $p^n$ bajo la no-degeneración.
¿Qué hay del siguiente problema: si empiezo con un sistema lineal de ecuaciones de la forma $Px \equiv 0 \pmod p$ donde $P$ es un $n \times n$ matriz con coeficientes enteros y $x = \begin {bmatrix} x_1, \dots , x_n \end {bmatrix}^{ \top }$ . ¿Hay alguna manera de que pueda levantar una solución $x \pmod p$ a una solución $ \hat x \pmod {p^m}$ de tal manera que $ \hat x \equiv x \pmod p$ ? Estaría más que feliz de tener una respuesta para $p^2$ y $n=2$ o $n=3$ si eso es posible; normalmente trabajo con matrices cuyas líneas tienen una $2$ y dos $1$ con el resto todos los ceros, como este: $$ \begin {bmatrix} 2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 2 \\ \end {bmatrix} $$ (La razón de la simetría es porque esta matriz surgió de algún lindo nudo en la teoría de los nudos, pero no creo que este contexto sea relevante aquí).
Podría estar interesado en un resultado de existencia simple, pero estoy mucho más interesado en ser capaz de contar el número de soluciones para un ejemplo particular, porque eso es lo que necesito hacer en mi contexto teórico de los números; una comprensión de la forma de las soluciones sería el cielo. De cualquier manera, cualquier tipo de respuesta es apreciada siempre y cuando dé alguna idea.
