Muestran que, para todos los $n > 1: \frac{1}{n + 1} < \log(1 + \frac1n) < \frac1n.$

Question

Estoy aprendiendo cálculo, específicamente los derivados y aplicaciones de la MVT, y necesita ayuda con la siguiente prueba:

Muestran que, para todos los $n > 1$ $$\frac{1}{n + 1} < \log(1 + \frac1n) < \frac1n.$$

He intentado seguir los pasos a continuación para demostrar el derecho de la desigualdad:

Demostrando que $f < g$$I$$a$$b$:

Paso $1$. Demostrar que $f' < g'$$\operatorname{Int}(I)$.

Paso $2$. Mostrar que $f(a) \leq g(a)$ o que $f(a^+) \leq g(a^+)$

Siguiendo los pasos anteriores, vamos a $f(x) = \log(1 + \frac1x)$$g(x) = \frac1x$, para todos los $x > 1$. Tenemos que

$$f'(x) = -\frac{1}{x^2 + x} \quad \text{and} \quad g'(x) = -\frac{1}{x^2}.$$

Tomamos nota de que, para cada $x > 1$, $f'(x) > g'(x)$. También, $f(1^+) = \log(2) < 1 = g(1^+).$

Mi problema es que tengo el mal signo de la desigualdad en el Paso $1$.

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Buscando la solución en mi libro de texto, el autor sugiere el uso de la MVT, pero no sé cómo aplicarlo en este caso.

Answer 1

Como sugiere user84413 puede aplicar el MVT a $f(x)=\ln x$ en el intervalo de $[n,n+1]$$n>0$: no es $t\in(n,n+1)$ tal que $$\log\left(1 + \frac1n\right)=\ln(n+1)-\ln(n)=f(n+1)-f(n)=f'(t)((n+1)-n)=\frac{1}{t}.$$ Ahora tenga en cuenta que $0<n<t<n+1$ implica que el $\frac{1}{n+1}<\frac{1}{t}<\frac{1}{n}$.

Answer 2

A partir de la definición, $\ln {\left(1+\frac{1}{n}\right)}=\displaystyle\int_1^{1+\frac{1}{n}}\frac{1}{t}\,dt$

$\therefore 1<t<1+\frac{1}{n}\Rightarrow \frac{n}{n+1}<\frac{1}{t}<1$

Por eso, $\frac{n}{n+1}\displaystyle\int_1^{1+\frac{1}{n}}\,dt<\displaystyle\int_1^{1+\frac{1}{n}}\frac{1}{t}\,dt<\displaystyle\int_1^{1+\frac{1}{n}}\,dt$

$\Rightarrow \large\frac{1}{n+1}<\ln {\left(1+\frac{1}{n}\right)}<\frac{1}{n}$