Los residuos de los polos

Question

Encontrar $Res_{f}\left ( z_{0} \right )$, donde, $f\left ( z \right )=\frac{1}{z^{4}+4}$ $z_{0}=1+i$

Ahora, la definición de $$Res_{f}\left ( 1+i \right ) =\lim_{z \to z_{0}} \left\{\left ( z-\left ( 1+i \right ) \right ) \cdot \frac{1}{z^{4}+4} \right\}$$ donde las raíces para $$z^{4}+4$$ are $\sqrt{+2i}$, $\sqrt{-2i}$, $- \sqrt{+2i}$, $- \sqrt{+2i}$

Estoy un poco atascado aquí. Podría alguien darme un empujón?

Answer 1

El uso de $1 + i = \sqrt{2} \, e^{\tan^{-1}(1)} = \sqrt{2} \, e^{\pi i/4}$ $\sqrt{i} = e^{\pi \, i/4}$ $$\begin{align} \lim_{z = 1+i} f &= \lim_{1+i} \left\{ \frac{z - \sqrt{2} \, e^{\pi i/4}}{z^{4}+4} \right\} \\ &= \lim \left\{ \frac{z - \sqrt{2} \, e^{\pi i/4}}{(z^{2} + 2i)(z^{2}- 2 i) } \right\} \\ &= \lim \left\{ \frac{z - \sqrt{2} \, e^{\pi i/4}}{(z^{2} + 2 i) (z - \sqrt{2} e^{\pi i/4})( z + \sqrt{2} e^{\pi i/4})} \right\} \\ &= \frac{1}{(2 \, e^{\pi i/2} + 2 i)(2 \, \sqrt{2} \, e^{\pi i/4}) } \\ &= \frac{1}{8 \sqrt{2}} \, \frac{1}{ e^{3 \pi i/4}} \\ &= - \frac{1 + i}{16} \end{align}$$

Answer 2

Con $\rho$ un cero simple de $f(z)$ hemos $$\mathrm{Res}_{z=\rho} \frac{1}{f(z)} = \frac{1}{f'(\rho)}.$$ Esto da para el presente caso $$\frac{1}{4\rho^3} = \frac{\rho}{4\rho^4} = \frac{\rho}{4(-4)} = -\frac{1+i}{16}.$$

Consultar por ejemplo, la Wikipedia para más información.

Answer 3

Nota: Esto es sólo un complemento a la Leucippus bonita respuesta, la cual puede ayudar OPs comprensión

Con el fin de encontrar

$$\begin{align*} \mathop{Res}_f(1+i)=\lim_{z\rightarrow 1+i}\frac{z-(1+i)}{z^4+4} \end{align*}$$ podemos obtener algunas otras representaciones válidas de $z_0=1+i$.

Primera nota, que $$(1+i)^2=1+2i-1=2i$$ which implies $1+i=\sqrt{2}$.

Por otro lado, nos puede escribir $1+i$ usando coordenadas polares y encontrar $$1+i=\sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$$

Así, se puede utilizar como alternativa $$\begin{align*} 1+i=\sqrt{2i}=e^{i\frac{\pi}{4}} \end{align*}$$

Ahora, podemos calcular el residuo en $z_0=1+i$

$$\begin{align*} \mathop{Res}_f(1+i)&=\lim_{z\rightarrow 1+i}\frac{z-(1+i)}{z^4+4}\\ &=\lim_{z\rightarrow 1+i}\frac{z-(1+i)}{(z^2+2i)(z^2-2i)}\\ &=\lim_{z\rightarrow \sqrt{2i}}\frac{z-\sqrt{2i}}{(z^2+2i)(z-\sqrt{2i})(z+\sqrt{2i})}\tag{1}\\ &=\lim_{z\rightarrow \sqrt{2i}}\frac{1}{(z^2+2i)(z+\sqrt{2i})}\\ &=\frac{1}{(4i)(2\sqrt{2i})}\\ &=\frac{\sqrt{2i}}{-16}\\ &=-\frac{1+i}{16}\\ \end{align*}$$

Comentario: En (1) utilizamos la representación $1+i=\sqrt{2i}$