Nota: Esto es sólo un complemento a la Leucippus bonita respuesta, la cual puede ayudar OPs comprensión
Con el fin de encontrar
\begin{align*}
\mathop{Res}_f(1+i)=\lim_{z\rightarrow 1+i}\frac{z-(1+i)}{z^4+4}
\end{align*}
podemos obtener algunas otras representaciones válidas de $z_0=1+i$.
Primera nota, que $$(1+i)^2=1+2i-1=2i$$ which implies $1+i=\sqrt{2}$.
Por otro lado, nos puede escribir $1+i$ usando coordenadas polares y encontrar
$$1+i=\sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$$
Así, se puede utilizar como alternativa
\begin{align*}
1+i=\sqrt{2i}=e^{i\frac{\pi}{4}}
\end{align*}
Ahora, podemos calcular el residuo en $z_0=1+i$
\begin{align*}
\mathop{Res}_f(1+i)&=\lim_{z\rightarrow 1+i}\frac{z-(1+i)}{z^4+4}\\
&=\lim_{z\rightarrow 1+i}\frac{z-(1+i)}{(z^2+2i)(z^2-2i)}\\
&=\lim_{z\rightarrow \sqrt{2i}}\frac{z-\sqrt{2i}}{(z^2+2i)(z-\sqrt{2i})(z+\sqrt{2i})}\tag{1}\\
&=\lim_{z\rightarrow \sqrt{2i}}\frac{1}{(z^2+2i)(z+\sqrt{2i})}\\
&=\frac{1}{(4i)(2\sqrt{2i})}\\
&=\frac{\sqrt{2i}}{-16}\\
&=-\frac{1+i}{16}\\
\end{align*}
Comentario: En (1) utilizamos la representación $1+i=\sqrt{2i}$