Pregunta que involucra analítica de$f=u+iv$

Question

Deje que$f=u+iv:\mathbb C\to\mathbb C$ sea analítico. Entonces es cierto que$\dfrac{\delta^2 v}{\delta x^2}+\dfrac{\delta^2 v}{\delta y^2}=0?$

Answer 1

Consideremos al Cauchy Riemann condiciones

$\frac {\partial u} {\partial x}$ = $\frac {\partial v} {\partial y}$

y

$\frac {\partial u} {\partial y}$=-$\frac {\partial v} {\partial x}$

Por lo que piden si $\dfrac{\delta^2 v}{\delta x^2}+\dfrac{\delta^2 v}{\delta y^2}=0$

Permite encontrar $\dfrac{\delta^2 v}{\delta x^2}$

$\frac \partial {\partial x}$($\frac {\partial v} {\partial x}) $= $\frac \partial {\partial x}$(-$\frac {\partial u} {\partial y}$) = -$\frac {\partial u} {\partial x \partial y}$

Nowlets encontrar $\dfrac{\delta^2 v}{\delta y^2}$

$\frac \partial {\partial y}$($\frac {\partial v} {\partial y}) $= $\frac \partial {\partial y}$($\frac {\partial u} {\partial x}$) = $\frac {\partial u} {\partial y \partial x}$

Así que terminamos con

$\frac {\partial u} {\partial y \partial x}$$\frac {\partial u} {\partial x \partial y}$= 0 (derivados mixtos son iguales)

Así que tu afirmación es correcta

Answer 2

Sugerencia: Ver ecuaciones de Cauchy – Riemann.