¿Unidad de torque con radianes?

Question

Normalmente, la frecuencia angular $\omega$ se da en $\mathrm{1/s}$. Me parece más consistente darlo en $\mathrm{rad/s}$. Para el momento angular $L$ se da entonces en $\mathrm{rad \cdot kg \cdot m^2 / s}$.

Sin embargo, la relación para el torque $\tau$ dice: $$ \tau \cdot t = L$$

Entonces, el torque no debería medirse en $\mathrm{N \cdot m}$ sino en $\mathrm{rad \cdot N \cdot m}$. ¿Sería eso entonces completamente consistente?

Answer 1

El OP escribió(v1):

Entonces, ¿el torque no debería medirse en N⋅m sino en rad⋅N⋅m? ¿Sería eso entonces completamente consistente?

No, eso no sería consistente con la definición elemental de torque $\vec{\tau}=\vec{r} \times \vec{F}$ como un producto cruz entre un vector posición $\vec{r}$ y un vector fuerza $\vec{F}$.

Un ángulo en radianes es la relación entre la longitud de un arco de círculo y su radio, y por lo tanto es adimensional.

Por ejemplo, la versión angular $\tau = I \alpha$ de la 2da ley de Newton es solo verdadera (sin un factor de conversión adicional) si el ángulo detrás de la aceleración angular $\alpha$ se mide en radianes.

Sin embargo, se debe mencionar que debido a la fórmula

$$ W~=~\int \tau ~d\theta, $$

para el trabajo angular, el torque se puede ver como energía por ángulo, es decir, la unidad SI de torque también es Julios por radianes. Ver también la página de Wikipedia aquí y la pregunta de Phys.SE aquí.

Answer 2

Anthony French del MIT, en una comunicación privada conmigo años atrás, finalmente logró que entendiera cuándo escribir radianes como una unidad y cuándo omitirla. Aquí está la respuesta.

Si la cantidad en cuestión tiene un valor numérico que depende de si la unidad angular se expresa en grados, radianes, revoluciones, o algo similar, entonces incluya explícitamente la unidad correspondiente. Si el valor numérico de la cantidad NO depende de la unidad angular, entonces omita la unidad angular. Como ejemplo, consideremos la velocidad angular y la velocidad lineal. El valor numérico de la velocidad angular depende de si se usan grados o radianes. $50\; \circ/s$ no es lo mismo que $50\; rad/s$. La velocidad lineal, sin embargo, tiene un valor numérico que es independiente de cualquier unidad angular, por lo que cuando calculamos $v = \omega r$ nunca escribimos $\frac{rad \cdot m}{s}$ como la unidad. Simplemente escribimos $m/s$.

Answer 3

Aquí está la clave del insight: en el contexto de círculos, ángulos y rotación, las unidades de longitud son tangenciales o radiales. Dejen que haya dos nuevas unidades que reemplacen al buen viejo $m$ (metros): $m_{tan}$ (metros tangenciales) y $m_{rad}$ (metros radiales). La unidad de un rad es la conversión o relación entre estas dos unidades.

$$rad = \frac{m_{tan}}{m_{rad}}$$ $$1 = \frac{m_{tan}}{m_{rad}}\frac{1}{rad}$$ $$1 = \frac{m_{rad}}{m_{tan}}rad$$

Ahora para responder la pregunta. Primero, estoy de acuerdo contigo en que la frecuencia angular en este contexto debería ser $rad/s$, no $1/s$. Segundo, tu formulación de la relación de $L$ y $\tau$ es un poco más clara creo si agregas $\Delta$s o $d$s así: $\tau \cdot dt = dL$. Realmente no importa para esta pregunta, y usaré $s$ en lugar de $ds$ o $\Delta s$.

Toma el lado izquierdo, $\tau \cdot dt$. Las unidades son $(N\cdot m_{rad})\cdot s$. Observa el uso de metros radiales.

Expande $N$ para dar $(kg\cdot \frac{m_{tan}}{s^2}) \cdot m_{rad}\cdot s$ y observa el uso de metros tangenciales. Simplifica para dar: $kg \cdot m_{tan} \cdot m_{rad} /s$.

Ahora multiplica esto por $1 = \frac{m_{rad}}{m_{tan}}rad$, que también se puede pensar como "convertir" el $m_{tan}$ a $m_{rad}$:

$kg \cdot m_{tan} \cdot m_{rad} \cdot \frac{m_{rad}}{m_{tan}}rad/s$

Simplificando, esto ahora da las unidades que buscabas, con el $m$ ahora especificado como metros radiales:

$kg\cdot (m_{rad})^2 \cdot rad/s$

Alternativamente, podrías multiplicar por $1 = \frac{m_{tan}}{m_{rad}}\frac{1}{rad}$ en su lugar, y terminarías con la expresión que da alfC, aunque esos metros ahora se revelan como metros tangenciales:

$kg\cdot (m_{tan})^2 / rad/s$

No he visto este problema abordado de manera clara y concisa todavía. En primer lugar, pensar en rad como adimensional no es útil, y pensar en rad = 1 no es útil. En ciertos marcos, técnicamente, $rad = 1$ y "$rad$s son adimensionales" son útiles, pero estas declaraciones son algo contraproducentes para captar la clave del insight.

Answer 4

El trabajo rotacional no es torque por ángulo. Es torque por (ángulo en radianes) = torque $\times$ (la cantidad de radianes en el ángulo). El torque ha sido entendido (durante milenios) como lo que hoy se llamaría $\mathbf{r}\times\mathbf{F}$. La dimensión es longitud $\times$ fuerza o (masa $\times$ longitud al cuadrado)/(tiempo al cuadrado), que es la misma dimensión que la energía. Para distinguir el torque de la energía, damos la energía en unidades de Julios y el torque en unidades de newton-metros (nunca en Julios).

Answer 5

Me encontré con esta pregunta al hacer cálculos numéricos con el paquete de Python pint, donde los ángulos se pueden especificar en $\rm ciclos$, $\rm rad$ y $\rm deg$ (y algunos alias, como $\rm vueltas$, $\rm revoluciones$).

... y entonces me encontré exactamente en esta situación: necesitaba calcular una aceleración angular a partir de un par. Eso debería ser, para una inercia momentánea constante $I$,

$$ \frac{d\omega}{dt} = M/I $$

pero cuando piensas en los ángulos como una cantidad con dimensión - en mi caso velocidades angulares dadas en $\rm revoluciones~por~minuto~(rpm)$, habría una incompatibilidad de unidades.

En última instancia, este tipo de situaciones se reducen a convenciones. Si argumentamos que hay una unidad natural de algo, terminaríamos no necesitando unidades en absoluto; Por ejemplo, no necesitamos el metro, simplemente podemos usar segundos luz como la unidad básica de longitud. Un $\rm metro$ sería entonces aproximadamente $3.335~\rm nanosegundos$.

Y de hecho existen situaciones similares. En física, los sistemas de unidades con 3 unidades base para longitud, tiempo y masa son comunes, en contraposición a las 7 unidades base del SI. La unidad de corriente se elimina al decir que dos cargas unitarias en reposo a una distancia de una longitud unitaria ejercen una fuerza unitaria entre sí según la ley de Coulomb, lo que le otorga a la carga una dimensión fraccional de $\rm (masa)^{1/2} (longitud)^{3/2} (tiempo)^{-1}$.

Entonces, ¿por qué tener unidades en absoluto? Yo diría que se reduce a algo similar a la "seguridad de tipo" en la programación. Cuando sumas un tiempo y una longitud, típicamente desconfías justificadamente. Cuando esperas una velocidad, pero obtienes una masa - igualmente.

Ahora, en la ecuación anterior, ¿deberíamos agregar las unidades de ángulo en algún lugar? ¿Deberíamos sumar $\rm rad$ al torque? Probablemente no, porque omitir unidades al decidir por una unidad natural no es de manera única reversible. No sabemos si debemos introducir $\tilde\omega = \omega/\rm rad$, $\tilde M = M\rm rad$, $\tilde I=I/\rm rad$ o una combinación de todos ellos con potencias fraccionarias.

También, en este punto debemos preguntarnos: ¿Estamos viendo una velocidad angular dada en $\rm rad/s$, o es $\rm ciclos/s$? Ambos constituyen unidades perfectamente naturales de velocidad angular, aunque $\rm ciclos/s$ comúnmente se escribe como $\rm Hz~(Hertz)$, similar a la distinción de $\rm Joule$ para energía y el técnicamente equivalente $\rm Nm$ para torques.

Tales problemas son bastante comunes al trabajar con literatura que utiliza diferentes sistemas de unidades (por ejemplo, uno de los diversos sistemas de unidades electrodinámicas con 3 unidades base, en contraste con el SI). Por ejemplo, la susceptibilidad dieléctrica sin unidades $\chi$ difiere por un factor de $4\pi$ entre diferentes sistemas de unidades; Este factor básicamente se reduce a si escribimos la ley de Coulomb como $F = \frac{q_1 q_2}{4\pi r^2}$ o $F = \frac{q_1 q_2}{r^2}$.

Lo único especial acerca de los ángulos es que sus unidades naturales ocurren en geometría, sin conocimiento sobre las leyes de la naturaleza. Pero dado lo fácil que es mezclar ciclos, radianes y grados (por ejemplo, entre las cantidades de frecuencia $\omega$ y $f$), tal vez "ángulo" tiene tanto derecho a ser una cantidad base como "corriente".