Mi pregunta es si hay Cokernels en la categoría de grupos abelianos libres. La respuesta es sí en el caso finito grupos abelianos libres generados desde que se tiene el teorema de estructura de módulos finitamente generados sobre un dominio de ideales principales y se puede tomar como conúcleo sólo la parte libre del conúcleo habitual y rutina para probar que es inde Ed un conúcleo de la categoría. ¿Alguien tiene alguna pista sobre lo que sucede si se nos cae la condición de generación finito?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Deje $\prod\mathbb{Z}$ ser el producto directo de countably muchas copias de $\mathbb{Z}$, y vamos a $$F_1\stackrel{\alpha}{\rightarrow}F_0\rightarrow \prod\mathbb{Z}\rightarrow 0$$ ser libre de la resolución. A continuación, $\alpha$ no tiene un cokernel en la categoría de libre abelian grupos.
Si lo hizo, entonces el natural mapa de $F_0$ a la cokernel $C$ factor de forma exclusiva a través de $\prod\mathbb{Z}$ (el cokernel en la categoría de todos los abelian grupos), y el mapa resultante $\prod\mathbb{Z}\stackrel{\beta}{\rightarrow}C$ sería un universal mapa de $\prod\mathbb{Z}$ gratis abelian grupo.
Pero para cualquier elemento no nulo $x$$\prod\mathbb{Z}$, al menos una de las proyecciones en $\mathbb{Z}$ no ha $x$ en el núcleo, y por la universal de los bienes, factores a través de $\beta$. Por lo tanto, $x$ no puede estar en el núcleo de $\beta$, y por lo $\beta$ es inyectiva.
Pero, a continuación, $\prod\mathbb{Z}$ es isomorfo a un subgrupo de $C$. Pero cada subgrupo de libre abelian grupo es libre de abelian, y $\prod\mathbb{Z}$ no está libre de abelian.
