Producto de coeficientes binomiales tomados de dos en dos

Question

¿Cuál es el valor de $r$ para lo cual $$\binom{30}{r}\binom{20}{0} + \binom{30}{r-1}\binom{20}{1} + \ldots +\binom{30}{0}\binom{20}{r}$$ es el máximo?

Así es como lo interpreté: La expresión anterior equivale a elegir $r$ objetos de $50$ objetos. Así que su valor viene dado por $\binom{50}{r}$ . Ahora $\binom{50}{r}$ es máximo en $r=25$ Así que la respuesta debería ser $25$ . Pero en realidad, la respuesta correcta es $ 20$ . ¿Cómo es posible? ¿Y qué hay de malo en mi razonamiento?

Answer 1

Considere

$$\binom{30}{r}\binom{20}{0} + \binom{30}{r-1}\binom{20}{1} + \ldots +\binom{30}{0}\binom{20}{r} =\binom{50}{r}$$ como has dicho.

Sin embargo, observe que la expresión sólo está definida hasta $r=20$ . Sabemos que $\binom{50}{r}$ está aumentando en $r$ para $r<25$ . Por lo tanto, el valor máximo de la expresión es que cuando $r=20$ .

Answer 2

La fórmula $$\sum_{j=0}^r\binom aj\binom b{r-j}=\binom{a+b}r$$ sólo es válido si $r\le\min\{a,b\}$ .

Answer 3

Este es un comentario largo.

Dado que los coeficientes del binomio cuyo argumento inferior supera a su argumento superior son nulos pero están bien definidos, Trevor Gunn tiene un punto. He verificado el punto numéricamente; el código está abajo:

using System.Numerics;
BigInteger Binomial(int n, int k) => k < 0 || k > n ? 0 : k == 0 ? 1 : k * 2 > n ? Binomial(n, n-k) : (Binomial(n, k-1) * n)/k;
BigInteger f(int r)
{
    BigInteger result = 0;
    for(int i = 0; i <= r; ++i) result += Binomial(30, i) * Binomial(20, r-i);
    return result;
}
Console.WriteLine(f(20));// 3,347,717,751,371,268
Console.WriteLine(f(25));// 50,335,833,680,826,500