Mostrar que los extremos de una función compacto apoyada satisfaciendo a la relación escala son enteros

Question

Supongamos que $ \phi \in C0( \mathbb{R}) $(soporte compacto) satisfacen la relación escala$$ \phi(x) = \sum{k \in \mathbb{Z}} p_k \phi(2x-k) , $$ pk = 2^{1/2} \int{- \infty}^\infty \phi(x) \overline{\phi(2x-k)} dx. Let $a = \inf{x | \phi(x) \neq 0 }$ y $b = \sup{x | \phi(x) \neq 0 }$, muestran que el $a,b \in \mathbb{Z}.$

OK, entonces, qué necesidad de demostrar es que si $\overline{{ x| \phi(x) \neq 0}} = [a,b]$, mostrar que $a, b \in \mathbb{Z}$.

Mi opinion hasta ahora:

Fijo $x$, que $u = \lceil 2x-a \rceil$ y $l = \lfloor 2x - b \rfloor$ y $$ \phi(x) = \sum_{k = l}^u p_k \phi(2x-k)

Especialmente en $x=n \in \mathbb{Z}$ nos gustaría demostrar que $u = 2x-a$ y $l = 2x - b$, pero soy bastante espacio en blanco en donde empezar. ¿Cualquier sugerencia?

Gracias

Answer 1

Satisface a cada función graduada $\phi_k(x)=\phi(2x-k)$ $$\inf{x|\phi_k(x)\ne 0}=\frac{a+k}{2},\quad \sup{x|\phi_k(x)\ne 0}=\frac{b+k}{2} \tag1$$ Let $m=\min{k:p_k\ne 0}$ y $n=\max{k:pk\ne 0}$. Usando (1), debe ser capaz de demostrar$$\inf\left{x:\sum{k \in \mathbb{Z}} p_k \phi_k(x)\ne 0\right} = \frac{a+m}{2}$$ ahí $a=\frac{a+m}{2}$, de donde se sigue la conclusión acerca de $a$. Semejantemente para $b$.