Dejemos que $(X,d)$ sea un espacio métrico. Si todo subconjunto de $X$ está acotado, ¿significa que el propio espacio está acotado?
Técnicamente, este argumento no funciona si $X$ tiene un solo punto.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?Tal vez se refería a que todo subconjunto adecuado de $X$ está acotado. En ese caso, tome cualquier $A, B \subsetneq X$ tal que $A \cup B = X$ . Por lo tanto, $X$ está acotado como una unión finita de dos conjuntos acotados.
A saber: $$\operatorname{diam} X = \operatorname{diam}(A\cup B) \le \operatorname{diam} A + d(A, B) + \operatorname{diam} B < +\infty$$
Tal vez podamos añadir: para finitos $X = \{x_1, \dots, x_n\}$ tenemos $\operatorname{diam} X = \max \{d(x_i, x_j) \mid i, j = 1, \dots, n\}$ por lo tanto acotado.
Gribouillis
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dmay
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