¿Hay alguna forma de normalizar la distribución de Poisson?

Question

Por ejemplo, una variable de distribución Normal, $T$ con la media $\mu$ y la varianza $\sigma^2$ puede estandarizarse en $S$ así: $$ S=\frac{T-\mu}{\sigma}\;\Longrightarrow\;F(x)=\Phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right) $$

Mi pregunta es, para la distribución de Poisson con función de probabilidad $$ f(k;\lambda)=\Pr(X=k)=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}. $$

¿Existe una manera de estandarizar el $X$ si defino la Distribución de Poisson estándar como la distribución que $\lambda=1$ ?

Answer 1

Sí, hay un Poisson estándar, el que tiene parámetro $1$ . Recordemos que si $X$ cuenta el número de "accidentes" en un intervalo de tiempo unitario, entonces, en condiciones adecuadas $X$ tiene una distribución de Poisson con el parámetro del número medio de accidentes por unidad de tiempo.

Si ese parámetro es $\lambda$ entonces el número de accidentes en un intervalo de tiempo $t$ es Poisson con parámetro $\lambda t$ .

Ajustamos el intervalo de tiempo sobre el que contamos, hasta obtener un tiempo que dé la cuenta media $1$ . Por supuesto $t=\frac{1}{\lambda}$ es ese intervalo de tiempo.

Al igual que en la estandarización de la normal, se trata de un cambio de escala. Pero en el caso de la Poisson no es la variable aleatoria la que se escala.

Answer 2

Sea X una distribución de Poisson con parámetro λ. Entonces se puede demostrar que la variable aleatoria Y = (X - λ)/√(λ) convergerá a una distribución normal estándar a medida que λ vaya al infinito. Así que si alguna vez se tiene una distribución de posión con una λ relativamente grande, se puede normalizar en Y, que tendrá (aproximadamente) una distribución normal estándar.