Calcular una integral de una función irracional

Question

Cómo puedo calcular esta integral

$$\int \frac{dx}{(x^2+b)\sqrt{x^2-a}} $$

Sin utilizar la sustitución $$x=\sqrt{a}\sec {u} $ $

Supongo que tengo algunos problemas al utilizar sustitución de secante así que quería saber si hay alguna otra forma posible para resolver la integral anterior. Cualquier sugerencia será apreciada. ¡Gracias a cambio!

Answer 1

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove armada]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$

Con $\ds{\quad x \equiv {t^{2} + a \over 2t}\quad}$ y $\ds{\quad t = x - \root{x^{2} - a}}$:

\begin{align} &\bbox[10px,#ffd]{\ds{\int{\dd x \over \pars{x^{2} + b}\root{x^{2} - a}}}} = -\int{4t \over t^{4} + 2\pars{a + 2b}t^{2} + a^{2}}\,\dd t \\[5mm] \stackrel{y\ =\ t^{2}}{=}\,\,\,& -2\int{\dd y \over y^{2} + 2\pars{a + 2b}y + a^{2}} \\[5mm] = &\ -2\int{\dd y \over \pars{y + a + 2b}^{2} + a^{2} - \pars{a + 2b}^{2}} = -2\int{\dd y \over \pars{y + a + 2b}^{2} - 4b\pars{b - a}} \end{align}

En este punto, la integración es una escuela primaria. ¿Cuál es la relación entre el $\ds{a\ \mbox{and}\ b}$ ?.