Demostrar la desigualdad

Question

Que $a$ y $b$ los números reales positivos y que $n$ un número natural demuestran que

$$\left({1+\frac ab}\right)^n+\left(1+\frac ba\right)^n\ge2^{n+1}.$$

Answer 1

Utilizando la media aritmética media geométrica desigualdad, tenemos $ de $$\frac{(1+a/b)^n+(1+b/a)^n}{2}\ge \sqrt{((1+a/b)(1+b/a))^n}.$ $(1+a/b)(1+b/a)=2+a/b+b/a\ge 4$, desde $a/b+b/a\ge 2$, otra vez por AM / GM. El resultado sigue.

Comentario: Mencionar AM GM tal vez es demasiado lujo. Hemos utilizado dos veces el resultado que no negativo $x$ y $y$, tenemos $\frac{x+y}{2}\ge \sqrt{xy}$. Esto sigue del hecho de que $x+y-2\sqrt{xy}=(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2$.

Answer 2

$a,b$ son positivos, así $$\dfrac{a^k}{b^k}+\dfrac{b^k}{a^k}\ge2\Longleftrightarrow a^{2k}+b^{2k}\ge2a^kb^k\Longleftrightarrow\big(a^k-b^k\big)^2\ge0,$ $ y usando el teorema del binomio (tres veces total) obtenemos $$\left(1+\frac ab\right)^n+\left(1+\frac ba\right)^n=\sum{k=0}^n\binom nk\left(\dfrac{a^k}{b^k}+\dfrac{b^k}{a^k}\right)\ge2\sum{k=0}^n\binom nk=2\,(1+1)^n=2^{n+1}.$ $

Answer 3

Considerar el $f(x)= (1+x)^n + \left(1+\dfrac1x\right)^n$ $x>0$.

Entonces $f'(x)=n(1+x)^{n-1}\left(1-\dfrac1{x^{n+1}}\right)$. Así $f'(x)=0$ $x>0$ iff $x=1$.

Desde $f(x)\to +\infty $ cuando $x\to+\infty$, $\quad f$ tiene un mínimo en $x=1$.

El mínimo es de $f(1)=2\cdot2^n=2^{n+1}$.