Encuentra la solución entera del sistema de ecuaciones dado.

Question

encontrar todos los enteros positivos $a,b,c$ tal que

$abc=24$

$ab+bc+ca=38$

Si se dan valores particulares, entonces podemos encontrar fácilmente la solución, pero estoy buscando algún método general corto. ¿Hay alguna condición suficiente para que los valores constantes tengan una solución entera?

Answer 1

Problemas como éste pueden resolverse con un enfoque combinatorio. Los factores de 24 son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Hay que ponerlos en las "cajas" a, b y c, así como en las "cajas" ab, ac y bc. Las soluciones se pueden hacer con 1,2 y 12. Espero que esto te ayude.

Answer 2

$ab+bc+ca=38 \Rightarrow a^2(b+c)+24=38a$ . A partir de la función $f(a)=a^2(b+c)-38a+24$ obtenemos $38^2 \ge 4\cdot 24\cdot (b+c) \Rightarrow 15 \ge (b+c)$ . Ahora tiene 13 valores para b+c, pero no para cada valor $38^2-4\cdot 24\cdot (b+c)$ sea un cuadrado perfecto y también necesitamos $a_{1,2}=\frac{38 \pm \sqrt{38^2-4\cdot 24\cdot (b+c)}}{2(b+c)}$ sea un número entero. Siempre obtenemos a y (b+c), pero b y c se pueden calcular con $bc=\frac{24}a$ . Obtendrás (1,2,12) y sus permutaciones como única solución.

Nota: vemos en la solución que $a+b+c=15$ es siempre constante, por lo que probar eso nos daría una solución aún más simple porque entonces sabemos que a,b,c son las soluciones de la ecuación $x^3-15x^2+38x-24=(x-1)(x-2)(x-12)=0$

Esto es todo lo que sé, si hay una solución más rápida que pueda abarcarlos a todos por favor hágamelo saber.