Desigualdad que $f,f',f''$

Question

Deje $f:\mathbb{R}\to [0,+\infty)$ es estrictamente convexa ($f''(x)\geq 0$) y es$\mathrm{C}^2$$\min f(x) = f(0) = 0$. Si $f''(0) > 0$, por la expansión de Taylor alrededor de $0$, obviamente $$ \limsup_{x\to 0} \left|\frac{f(x)}{\left[f'(x)\right]^2} \right|<+\infty.$$

Mis preguntas son,

1. Si $f''(0) = 0$, lo supuestos en $f$ qué necesitamos para asegurarse de que $$ \limsup_{x\to 0} \left|\frac{f"(x)f(x)}{\left[f'(x)\right)^2} \right|<+\infty? \qquad(*)$$

2. Podemos probar a $(*)$ si $f\in \mathrm{C}^3$? En otras palabras, es cierto que si $f\in C^3$ es estrictamente convexo con $\min f = f(0) = 0$ $$ \limsup_{x\to 0} \frac{f''(x)f(x)}{f'(x)^2} < \infty?$$

Answer 1

Una respuesta parcial. Tenga en cuenta que $$\frac{f(x) f''(x)}{f'(x)^2} = 1 - \frac{d}{dx} \frac{f(x)}{f'(x)}.$$ For analytic functions whose lowest-order Taylor series term is $c # x ^ n $ with $n \geq 1 $, we have $ \dfrac{f(x)}{f'(x)} \sim \dfrac{cx^n}{ncx^{n-1}} = \dfrac{x}{n}$ for $x \approx 0$ and thus $\lim{x \to 0} \dfrac{d}{dx} \dfrac{f(x)}{f'(x)} = \dfrac{1}{n}$, and therefore $$\lim{x \to 0} \frac{f(x) f''(x)}{f'(x)^2} = 1 - \frac{1}{n}.$$ Nota que no hicimos ninguna asunción sobre el valor de $f''(x)$; de hecho, el límite es $1/2$ $f''(0) \neq 0$ para cualquier función (como se puede verificar algebraicamente para casos sencillos, por ejemplo, $f(x) = x^2$).

Posiblemente este argumento podría extenderse a funciones no analíticas.