Encontrar $f(1)$ de la función integral dada

Question

Considere la función- $$g(x)=\begin{cases} 1, \text{ if } x\in[-1,1]\\ 0, \text{ otherwise } \end{cases}$$

y $$f(x)=\lim_{h\to0}\frac{1}{2h}\int_{x-h}^{x+h}g(y)dy$$

entonces, ¿cuál es el valor de $f(1)?$

Mi intento:

Tenemos, $$f(1)=\lim_{h\to0}\frac{1}{2h}\int_{1-h}^{1+h}g(y)dy$$

La aplicación de Newton-Leibniz para la nuemerator después de aplicar L'Hôpital para esta $0/0$ límite, obtenemos

$$f(1)=\frac{g(1+h)+g(1-h)}{2}=1$$

Estoy en lo cierto?

Answer 1

Están reemplazando la variable equivocada en su solución.

<span class="math-container">$$ f (1) = \lim {h\to 0} \frac {1} {2h} \int {1 h} ^ {1 + h} g (y) dy. $$</span>

Ahora, para cada uno fijo <span class="math-container">$h,</span>

<span class="math-container">\int_{1-h}^{1+h}g(y)dy=1-(1-h)=h $$. $$</span>

Por lo tanto,

<span class="math-container">$$ f (1) = \lim {h\to 0} \frac {h} {2h} = \lim {h\to 0} \frac {1} {2} = \frac {1} {2}. $$</span>

Answer 2

<span class="math-container">$$f(1)=\lim{h\to0}\frac{1}{2h}\int{1-h}^{1+h}g(y)dy = \lim{h\to0}\frac{1}{2h}\int{1-h}^{1}g(y)dy = \lim_{h\to0}\frac{1}{2h}(1-(1-h)) ={1\over 2}$$</span>

Answer 3

Puesto que la función límite es una función uniforme de <span class="math-container">$h$</span> es suficiente hacer frente a <span class="math-container">$h\to 0^{+}$</span> solamente.

Tenemos <span class="math-container">$$\lim{h\to 0^{+}}\frac{1}{2h}\int{1-h}^{1+h}g(y)\,dy=\lim{h\to 0^{+}}\frac{1}{2h}\int{1-h}^{1}g(y)\,dy$$ The integral evaluates to <span class="math-container">$h$</span> and hence the above limit is <span class="math-container">$1/2$</span>.</span>

Su enfoque está bien pero el problema es que parecen asumir continua <span class="math-container">$g$</span> <span class="math-container">$1$</span>.

Answer 4

Los dos lados del límite, $\lim_{h \rightarrow 0}~g(1+h)$, no existen debido a la $g(x)$ es discontinua en a$x=1$. (Para ser más específicos, se trata de un salto de discontinuidad.) Esto causa problemas cuando computing $f(1)$.

Si hemos de tomar de manera unilateral límite de arriba, entonces tendríamos $lim_{h \rightarrow 0^+}~g(1+h) = 0$ e $\lim_{h \rightarrow 0^+}~g(1-h) = 1$.

No he hecho el pleno de la derivación, pero estoy adivinando la respuesta final sería $f(1)=1/2$.

Espero que esto le ayuda bastante, buena suerte resolver el problema de matemáticas!