Yo quiero probar
$R_{[αβγ]}^{\ \ \ \ \ \ \ δ} + ∇_{[α}T_{βγ]}^{\ \ \ \ δ} + T_{[αβ}^{\ \ \ \ ρ}\ T_{γ]ρ}^{\ \ \ \ δ} = 0$
EDIT: UNA breve discusión de la solución encontrada por Matt está en la parte inferior de este post.
La ecuación se llama la "Bianchi simetría" en el Vol. 1 de "Spinors y el espacio-tiempo" por Penrose y Rindler, y es que allí se indican en la ecuación (4.2.39) (con índice de $σ$ en lugar de la $δ$ aquí). Las definiciones de $T$, $R$ y todos los otros símbolos son tomadas a partir de ese mismo texto, correo.g:
$T_{αβ}^{\ \ \ \ γ}$ = Tensor de torsión, la satisfacción de $T_{αβ}^{\ \ \ \ γ} \ ∇_γf = ∇_α∇_βf - ∇_β∇_αf$, para escalares $f$
$R_{αβγ}^{\ \ \ \ \ \ \ δ}$ = Tensor de curvatura, la satisfacción de $∇_α∇_βV^δ - ∇_β∇_αV^δ - T_{αβ}^{\ \ \ \ γ}\ ∇_γV^δ = R_{αβγ}^{\ \ \ \ \ \ \ δ}\ V^γ$, para los vectores $V^γ$,
y para los vectores covariantes, $V_δ$:$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ∇_α∇_βV_γ - ∇_β∇_αV_γ - T_{αβ}^{\ \ \ \ ρ}\ ∇_ρV_γ = -R_{αβγ}^{\ \ \ \ \ \ \ δ}\ V_δ$
Estoy tratando de usar la forma sugerida en el texto que es "a lo largo de las mismas líneas", pero "más elaborada" de cómo la torsión de la versión gratuita (4.2.37) se deriva de ahí, pero también sin uso (4.2.52). El enfoque que he tomado, se parece a esto:
Los dos primeros (idénticos) las ecuaciones de abajo se muestran simplemente como un modesto reformulaciones de otros publicados (para otros fines) en el libro como se indica (teniendo en cuenta la obvia libro-error tipográfico en el primero), así que estoy prácticamente seguro de que el programa de instalación anterior a la tercera ecuación es correcta.
Lo que sigue a continuación, son solo algunos bastante sencillo transformaciones, por lo que estoy sospechando que el tensor de la $T_{[αβ}^{\ \ \ \ δ}\ ∇_{γ]}∇_δf$ destacó en la final debe ser cero, pero soy incapaz de mostrar por qué, tal vez porque no lo es.
(edit: En realidad no lo es. Ver final de la pregunta.)
Como en (4.2.40), pero con la f en lugar de $V^δ$ (no el $V^γ$-errata que aparece en mi edición):
$2∇_{[[α}∇_{β]}∇_{γ]} f = T_{[αβ}^{\ \ \ \ ρ}∇_{|ρ|}∇_{γ]}f − R_{[αβγ]}^{\ \ \ \ \ \ \ δ}\ ∇_δf$.
De forma equivalente, como en (4.2.35), pero simétrico en α, β, y γ y como T:
$−R_{[αβγ]}^{\ \ \ \ \ \ \ δ}∇_δ f = 2∇_{[[α}∇_{β]}∇_{γ]}f − T_{[αβ}^{\ \ \ \ ρ}\ ∇_{|ρ|}∇_{γ]}f$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 2∇_{[α}∇_{[β}∇_{γ]]}f − T_{[αβ}^{\ \ \ \ ρ}\ ∇_{|ρ|}∇_{γ]}f$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = ∇_{[α}Δ_{βγ]}f − T_{[αβ}^{\ \ \ \ ρ}\ ∇_{|ρ|}∇_{γ]}f\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $(con $Δ_{βγ} := 2∇_{[β}∇_{γ]}$)
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = ∇_{[α}T_{βγ]}^{\ \ \ \ δ}\ ∇_δf − T_{[αβ}^{\ \ \ \ ρ}\ ∇_{|ρ|}∇_{γ]}f\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $(4.2.22 se aplican a las primeras plazo de arriba)
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = ∇_{[α}T_{βγ]}^{\ \ \ \ ρ}\ ∇_δf + T_{[αβ}^{\ \ \ \ ρ}\ T_{γ]ρ}^{\ \ \ \ δ}\ ∇_δf − T_{[αβ}^{\ \ \ \ ρ}∇_{γ]} ∇_ρf\ \ $(4.2.22 aplicado a durar más arriba)
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = ∇_{[α}T_{βγ]}^{\ \ \ \ δ}\ ∇_δf + T_{[αβ}^{\ \ \ \ ρ}\ T_{γ]ρ}^{\ \ \ \ δ}\ ∇_δf − T_{[αβ}^{\ \ \ \ δ}∇_{γ]}∇_δf$
Comparando a (4.2.39), $T_{[αβ}^{\ \ \ \ δ}\ ∇_{γ]}∇_δf$ debe ser cero. (edit: No es así. Ver la discusión al final de la pregunta de abajo.)
Sugerencias acerca de por qué esto podría ser cierto, o si no donde me han sido engañados por el camino será muy apreciada! (edit: consulte a continuación para Ver por qué no).
P. S.: Este libro es una manera fabulosa para familiarizarse con el tensor de la indización. Estoy casi a mitad de camino a través de la lectura, y hasta este momento se han descubierto casi todos los sola fórmula, menores a un lado y fottnote por mi cuenta (excepto para los curiosos bits en la "irreductibilidad" al final de 3.3) y he disfrutado de cada minuto de ella.
P. P. S.: Este es mi primer post en el foro, y estoy muy impresionado por lo fácil que era para averiguar todo lo que yo necesitaba, especialmente el uso de MathJax, no trivial de bits de un software que en realidad se implementa en un muy auto-explicativo manera, a diferencia de tantas otras cosas que dice ser, pero casi nunca lo es. Yo también encontrará todas las sugerencias para hacer efectiva puestos muy sensible y útil, algo que es muy raro. Espero que se reflejen adecuadamente en este post!
Hacer este post ha sido realmente un montón de diversión, y espero mucho más.
Saludos!
EDIT: Discusión de la Solución debido a Matt
Como él señala, la Leibnitz expansión aplicada para el primer término de la última línea de mi derivación cancela el último término de la línea. La razón por la que me perdí este fue el no usar paréntesis en la correspondiente expresión:
$\ ∇_{[α}(T_{βγ]}^{\ \ \ \ δ}\ ∇_δf) = (∇_{[α}T_{βγ]}^{\ \ \ \ δ})\ ∇_δf + T_{[αβ}^{\ \ \ \ δ}(\ ∇_{γ]}∇_δf)$
Penrose abstracto de la indización es conmutativa y asociativa para el tensor de objetos en sí, que es una de sus mayores ventajas. Su covariante operadores de $∇_δ$ por otro lado no son ni conmutativa (como él lo hace muy claro), ni asociativa cuando es seguida por dos o más de los tensores. Mientras que el último no se menciona específicamente en el texto, se hace evidente con una pequeña cantidad de pensamiento, con este ejemplo trivial de servir como una ilustración perfecta.
De esta momentánea piedra de tropiezo y el resultado de la gran discusión y ayuda en el MSE, he aprendido mucho. Así que ahora, porque es muy divertido, voy a mostrar cómo derivar lo que Penrose llama el "Bianchi identidad", que en realidad es una fórmula más simple que el de "Bianchi simetría", aunque más complicado para derivar (en realidad, depende de la "simetría" de la fórmula):
Derivación de "Bianchi identidad"
Esta es la ecuación (4.2.43) (así como el de la Fig. A-9) en el Vol. 1 de "Spinors y el espacio-tiempo" por Penrose y Rindler, y utiliza la notación y otros conceptos y referencias de ese texto:
$2∇_{[[α}∇_{β]}∇_{γ]}V^δ = T_{[αβ}^{\ \ \ \ ρ}\ ∇_{|ρ|}∇_{γ]}V^δ + R_{[αβ|ρ|}^{\ \ \ \ \ \ \ \ \ δ}\ ∇_{γ]}V^ρ - R_{[αβγ]}^{\ \ \ \ \ \ \ \ ρ}\ ∇_ρV^δ\ \ \ \ \ \ \ $(4.2.40)
(LHS se expandió con "generalizado Ricci identidad", como se define por Penrose)
$2∇_{[α}∇_{[β}∇_{γ]]}V^δ = ∇_{[α}(T_{βγ]}^{\ \ \ \ ρ}\ ∇_{ρ}V^δ) + R_{[αβ|ρ|}^{\ \ \ \ \ \ \ \ \ δ}\ ∇_{γ]}V^ρ + V^ρ∇_{[α}R_{βγ]ρ}^{\ \ \ \ \ \ \ δ}\ \ \ \ \ \ $(4.2.41)
(LHS se expandió con la definición de $R$ y Leibnitz ley)
Restando la primera de la segunda da (desde LHSs son iguales):
$0 = V^ρ∇_{[α}R_{βγ]ρ}^{\ \ \ \ \ \ \ δ} - T_{[αβ}^{\ \ \ \ ρ}\ ∇_{|ρ|}∇_{γ]}V^δ$
$\ \ \ \ \ + ∇_{[α}(T_{βγ]}^{\ \ \ \ ρ}\ ∇_{ρ}V^δ) + R_{[αβγ]}^{\ \ \ \ \ \ \ \ ρ}\ ∇_ρV^δ$
$\ \ = V^ρ∇_{[α}R_{βγ]ρ}^{\ \ \ \ \ \ \ δ} - T_{[αβ}^{\ \ \ \ ρ}\ ∇_{|ρ|}∇_{γ]}V^δ$
$\ \ \ \ \ + (∇_{[α}\ ∇_{|ρ|}V^δ)T_{βγ]}^{\ \ \ \ ρ} + (∇_{[α}T_{βγ]}^{\ \ \ \ ρ})\ ∇_ρV^δ + R_{[αβγ]}^{\ \ \ \ \ \ \ \ ρ}\ ∇_ρV^δ$
$\ \ \ \ \ \ \ $(el uso de Leibnitz de la ley)
$\ \ = V^ρ∇_{[α}R_{βγ]ρ}^{\ \ \ \ \ \ \ δ} - T_{[αβ}^{\ \ \ \ ρ}\ ∇_{|ρ|}∇_{γ]}V^δ + T_{[αβ}^{\ \ \ \ ρ}\ ∇_{γ]}\ ∇_ρV^δ$
$\ \ \ \ \ - T_{[αβ}^{\ \ \ \ ρ}\ T_{γ]ρ}^{\ \ \ \ σ}\ ∇_σV^δ - R_{[αβγ]}^{\ \ \ \ \ \ \ \ ρ}\ ∇_ρV^δ + R_{[αβγ]}^{\ \ \ \ \ \ \ \ ρ}\ ∇_ρV^δ$
$\ \ \ \ \ \ \ $(utilizando Bianchi simetría).
$\ \ = V^ρ∇_{[α}R_{βγ]ρ}^{\ \ \ \ \ \ \ δ} + T_{[αβ}^{\ \ \ \ ρ}\ R_{γ]ρσ}^{\ \ \ \ \ \ \ δ}\ V^σ$
$\ \ \ \ \ \ \ $(utilizando Ricci identidad)
$\ \ =\ (∇_{[α}R_{βγ]ρ}^{\ \ \ \ \ \ \ δ}\ )V^ρ + T_{[αβ}^{\ \ \ \ σ}\ R_{γ]σρ}^{\ \ \ \ \ \ \ δ}\ V^ρ$
Así hemos llegado a las dos de Penrose fórmulas para
Bianchi simetría: $\ \ -R_{[αβγ]}^{\ \ \ \ \ \ \ δ} = ∇_{[α}T_{βγ]}^{\ \ \ \ δ} + T_{[αβ}^{\ \ \ \ ρ}\ T_{γ]ρ}^{\ \ \ \ δ}$
Bianchi identidad:$\ -∇_{[α}R_{βγ]ρ}^{\ \ \ \ \ \ \ δ} = T_{[αβ}^{\ \ \ \ σ}\ R_{γ]σρ}^{\ \ \ \ \ \ \ δ}$
