Estoy tratando de mostrar que si $$f_n(z)=1+z+\frac{z^2}{2!}+...+\frac{z^n}{n!}$ $ Entonces $f_n(z)$ no tiene ceros dentro del disco unitario. He intentado usar el teorema de Rouche o usar eso en el límite en que el polinomio converge al exponencial, pero no consigo que hoy lo haga.
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Usted tiene toda la información que usted necesita. Aquí está un resumen de lo que usted necesita hacer:
Uso del teorema de Rouch con $f_n$ e $z^n\over n!$ mostrar que si algunos $f_N$ tiene un cero dentro de la unidad de disco, luego cada $f_n$ con $n\gt N$ tiene un cero en la unidad de disco. Ahora, ya que hay un número infinito de ceros en el disco unidad, el conjunto de puntos de asignación a cero en virtud de nuestra $f_n$'s tiene al menos un punto de acumulación. Así que tenemos una secuencia de pares, $f_i, p_i$ con $f_i(p_i)=0$ para cada i, con un límite de punto de $f, p$ (como $f_n$'s también convergen). Por el bien de la contradicción, queremos mostrar a $f(p)=0$ como ya sabemos que f es la exponencial y así no tiene ceros.
Para hacer esto se utiliza un epsilon delta argumento: vamos a $\epsilon \gt 0$, luego de encontrar a$N_0$ tal que $f_n(x)$ está dentro de $\epsilon \over 3$ de f(x) para todo x en la unidad de disco cuando se $n\gt N_0$, luego de encontrar a$\delta$ tal que cuando se $|x-x_0|\lt\delta$, a continuación, $|f(x)-f(x_0)| \lt$ $ \epsilon \over 3$. Por último encontrar $N_1$ , de modo que $n\gt N_1$ implica $|p-p_n| \gt \delta$. El uso de la desigualdad de triángulo para mostrar que cuando se $n>max(N_0,N_1)$ tenemos $|f(p)-f_n(p_n)|<\epsilon$. Esto completa la contradicción, ya que implica $f(x)=e^x$ tiene un cero en la unidad de disco.
