Un punto de partida es este problema: $P \subset Z_n = \{1, 2, \dots, n\}$ es binario, si existe un número $k$ tanto $k \in P$ e $2k \in P$, de lo contrario es antibinary. Se supone que uno debe, por $n$, para mostrar antibinary conjunto con la máxima cantidad de elementos (no podría ser de muchos conjuntos que cumplan esta propiedad). Uno puede mostrar que establezca $P_n = \{4^m(2k + 1) \mid m, k \in \mathbb{N}\} \cap Z_n$ es una solución adecuada. Mi pregunta es: ¿cómo de grande es este conjunto? Estoy buscando a $\displaystyle\lim_{n \to \infty} p_n$, donde $p_n = \dfrac{|P_n|}{n}$. Sencillo programa que yo he escrito en Python sugiere que la respuesta es $\dfrac{2}{3}$, pero no sé, cómo demostrarlo.
Respuestas
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Desde <span class="math-container">$4^m (2k+1)\leq n $</span> si y sólo si <span class="math-container">$k\leq\frac {n/4^m-1}{2}$</span>, tenemos <span class="math-container">\begin{align} \frac {P (n)}n &=\frac 1n\sum_{m=0}^{\lfloor\log4(m)\rfloor}\left\lfloor 1+\frac {n/4^m-1}{2}\right\rfloor\ &=\frac 1n\sum{m=0}^{\lfloor\log4(m)\rfloor}\left\lfloor\frac {n+4^m}{2\cdot 4^m}\right\rfloor\ &=\frac 1n\sum{m=0}^{\lfloor\log4(m)\rfloor}\frac {n+4^m}{2\cdot 4^m}+O\left(\frac {\log (n)}n\right)\ &=\frac 12\sum{m=0}^{\lfloor\log_4(m)\rfloor}\frac 1{4^m}+O\left(\frac {\log (n)}n\right)\ &=\frac 23\left(1-4^{-1-\lfloor\log_4 (n)\rfloor}\right)+O\left(\frac {\log (n)}n\right)\ &\xrightarrow {n\to\infty}\frac 23 \end {Alinee el}</span>
Shabaz
Puntos
403
Aproximadamente el $\frac 12$ de los números de la forma $2k+1$, $\frac 18$ de los números de la forma $8k+4$, $\frac 1{32}$ de los números de la forma $32k+16$, $\frac 1{128}$ son de la forma $128k+64$, por lo que la densidad es $$\frac 12\left(1+\frac 14+\frac 1{16}+\ldots\right)=\frac 18 \cdot \frac 1{1-\frac 14}=\frac 23$$
