¿Es el doble de la serie $\sum_{n,k\geq 1}\frac{1}{n^2+k^2}$ divergente?

Question

Pensé que ya que la función de $f(x,y)=(x^2+y^2)^{-1}$ no es integrable en a$\mathbb{R}^2$ (me refiero a la distancia desde el origen) de la misma integral, pero con la cuenta de medida pueden comportarse de la misma. He probado este enfoque (similar a coordenadas polares en algún sentido) $$\sum_{n,k\geq 1}\frac{1}{n^2+k^2}=\sum_{t\geq1}\frac{r(t)}{t}$$ donde $r(t)$ es la función que se cuenta cuántas maneras un entero $t$ puede ser escrito como suma de dos cuadrados. Tampoco existe ningún tipo de autoestima o asintótica comportamiento de esta función? O tal vez una manera diferente de resolver el problema?

Gracias de antemano!

Answer 1

Su enfoque es bueno, pero hay una solución más sencilla.

$n^2+k^2\leq (n+k)^2$, lo $\sum\limits_{n,k\geq 1} \frac{1}{n^2+k^2} \geq \sum\limits_{n,k\geq 1} \frac{1}{(n+k)^2}$.

Ahora un número de $N$ puede ser escrito en $N-1$ formas como una suma $N=n+k$. Por lo que la estimación a la baja es $\sum\limits_{N\geq 1} \frac{N-1}{N^2}$. Como $\sum\limits_{N\geq 1} \frac{1}{N^2}$ converge, la parte importante es $\sum\limits_{N\geq 1} \frac{N}{N^2} = \sum\limits_{N\geq 1} \frac{1}{N}=\infty$.

Answer 2

Definitivamente eres exactamente en la pista de la derecha: no summable por exactamente la misma razón por la que $(x^2 + y^2)^{-1}$ no es integrable (y que básicamente le da una prueba de ello: el recuento de medida sólo se ve como una versión discreta de la integral, y al dividir el plano en una unión de cuadrados de lado de longitud $1$ este argumento puede ser muy precisos).

En cuanto a tu pregunta sobre el asymptotics de $r$, ver esta pregunta aquí.