Hay una serie de imprecisiones en su pregunta, que en su mayoría tienen que ver con confundir la Mentira de grupo y su Mentira de álgebra. Supongo que esto hará que sea difícil leer la literatura matemática. Habiendo dicho eso, el primer volumen de Kobayashi y Nomizu es, probablemente, la canónica de referencia.
Permítanme tratar de resumir. Permítanme asumir que $H$ está conectado.
La estructura de la división $\mathfrak{g} = \mathfrak{h} \oplus \mathfrak{m}$ de la Mentira álgebra $\mathfrak{g}$ $G$ en la Mentira álgebra $\mathfrak{h}$ $H$ y el complemento de $\mathfrak{m} = \mathrm{Span}(\lbrace Y_a\rbrace)$, dice que tiene una reductora espacio homogéneo. Tales espacios homogéneos tienen una canónica invariante de conexión y, por tanto, un canónica de la noción de derivada covariante.
El mapa de $G \to G/H$ define una entidad de $H$-bundle. Su $\Omega$ es una sección local de este paquete. En $G$ tienes la izquierda-invariante de Maurer-Cartan de una forma$\Theta$, $\mathfrak{g}$valores. Puede utilizar $\Omega$ a tirar para atrás a$\Theta$$G/H$: es un local definido de una forma en $G/H$ con valores en $\mathfrak{g}$. Para la matriz de los grupos, es de hecho el caso de que $\Omega^*\Theta = \Omega^{-1}d\Omega$, pero que, de hecho, puede usar esta notación para la mayoría de los cálculos, sin preocuparse demasiado.
Descomponer $\Omega^{-1}d\Omega$, según el split $\mathfrak{g} = \mathfrak{h} \oplus \mathfrak{m}$:
$$
\Omega^{-1} d\Omega = \omega + \theta
$$
donde $\omega$ $\mathfrak{h}$ componente y $\theta$ $\mathfrak{m}$ componente. De ello se desprende que $\theta$ define pointwise un $H$-equivariant isomorfismo del espacio de la tangente a$G/H$$\mathfrak{m}$, $H$ actuando en $\mathfrak{m}$ por la restricción a $H$ de los adjuntos de acción de $G$ $\mathfrak{g}$ $H$ actuando en $G/H$ a través de la lineal la isotropía de la representación. Esto significa que $\theta$ es una de soldadura de forma.
Por otro lado $\omega$ $\mathfrak{h}$- valora y define la conexión de un formulario. Se puede comprobar que si se cambia la parametrisation $\Omega$, $\omega$ transforma como una conexión en el local de la $H$-transformaciones.
Esto permite diferenciar las secciones homogéneas vector de paquetes en $G/H$, tal como tensores. En su nota, y suponiendo que las $\psi$ es una sección de un tal paquete, asociado a una representación $\rho$$H$, la derivada covariante sería
$$
\nabla \psi = d\psi + \rho(\omega)\psi~,
$$
donde yo también denotan por $\rho$ la representación de la Mentira álgebra de $H$.
El Maurer-Cartan estructura de la ecuación satisfecho por $\Theta$ es
$$
d\Theta = - \tfrac12 [\Theta,\Theta]
$$
y esta tira hacia atrás de a $G/H$ dar las siguientes ecuaciones
$$
d\theta + [\omega\theta] = -\tfrac12 [\theta,\theta]_{\mathfrak{m}}
$$
y
$$
d\omega + \tfrac12 [\omega\omega] = - \tfrac12 [\theta,\theta]_{\mathfrak{h}}
$$
que dicen que la torsión $T$ y la curvatura $K$ $\omega$ están dadas respectivamente por
$$
T = -\tfrac12 [\theta,\theta]_{\mathfrak{m}} \qquad\mathrm{y}\qquad K = - \tfrac12 [\theta,\theta]_{\mathfrak{h}}.
$$
Una cosa a tener en cuenta es que, en general, $\nabla$ no va a ser la de Levi-Civita de conexión de invariantes métricos, ya que ha de torsión. (Si (y sólo si) la torsión se desvanece, usted tiene un (a nivel local) simétrica del espacio.) Si usted está interesado en la de Levi-Civita de conexión de una métrica invariante, entonces usted tiene que modificar el invariante de la conexión mediante la adición de un contorsion tensor que mata a la torsión. Los detalles no son difíciles de trabajar.
