Ideal máximo de$K[x_1,\cdots,x_n]$ tal que el campo del cociente sea igual a$K$

Question

Me pregunto si una máxima ideales de $K[x_1,\cdots,x_n]$ tales que el cociente de campo es igual a $K$ debe ser la forma de $(x_1-a_1,\cdots,x_n-a_n)$? Aquí $K$ no es necesario ser algebraicamente cerrado.

Traté de considerar la Zariski del lexema, si $\mathfrak m$ es un ideal maximal de finitely generadas $K$-álgebra $A$, a continuación, $A/\mathfrak m$ es una extensión finita de $K$. Pero no sé el grado $[A/\mathfrak m:K]=1$ lo que significa?

Answer 1

Depende de lo que significa "igual". Un campo puede ser isomorfo a un no-trivial finito extensión de sí mismo, por ejemplo, $\mathbb{C}(Y^2) \cong \mathbb{C}(Y)$, por lo que el residuo de campo de ser isomorfo a $K$ no es lo suficientemente fuerte como condición. Concretamente, un contraejemplo es dado por $(X^2 - Y^2) \subset \mathbb{C}(Y^2)[X]$, un ideal maximal con cociente de campo $\mathbb{C}(Y)$.

Sin embargo, si el cociente $K[X_1, \ldots , X_n] / \mathfrak{m}$ realidad es isomorfo a $K$ como $K$-álgebra, entonces, si $a_i$ denota la imagen de $X_i$ en $K$, es fácil ver que $X_i - a_i$ se encuentra en $\mathfrak{m}$ por cada $i$, y, por tanto, $\mathfrak{m} = (X_1-a_1, \ldots , X_n - a_n)$.

Answer 2

Puedo dar una respuesta positiva cuando $k$ está algebraicamente cerrado.

De Hilbert Nulstellensatz, sabemos que

$$k^n \to \{\mathrm{maximal \ ideals \ in \ k[X_1, \dots, X_n]}\}: (a_1, \dots, a_n) \mapsto I(\{a_1, \dots, a_n\}) = (X_1-a_1, \dots, X_n-a_n)$ $ es una bijección y el resultado sigue fácilmente.

Ver también: pregunta básica sobre ideales máximos en $K[X_1,...,X_n]$