Límite de la matriz $A$ elevado al poder de $n$ como $n$ se acerca al infinito.

Question

Entiendo que el límite de $n$ acercándose al infinito de una matriz $A^n$ puede ser calculado, en algunos casos, mirando la diagonalización de esa matriz, y luego mirando el límite de $n$ yendo al infinito de la matriz diagonal resultante, $D$ cuyos elementos se elevan al poder $n$ .

Lo que no entiendo es que cuando no levantamos la matriz, la llamemos $P$ que consiste en los vectores propios de $A$ y su inverso, al poder de $n$ también?

Así que..:

$ P^{-1}AP = D $

$A = PDP^{-1} $

$A^n = (PDP^{-1})^n$

$A^n = P^nD^n(P^{-1})^n$

¿Por qué las matrices $P^n$ y $(P^{-1})^n$ no tienen que ser tenidos en cuenta cuando se mira el límite de $n$ ¿Ir al infinito?

Answer 1

En general, la declaración $$ (AB)^n=A^nB^n $$ es falso para las matrices cuadradas. Así que no es cierto en general que, de $A=PDP^{-1}$ se deduce que $A^n=P^nD^n(P^{-1})^n$ .

Más bien hay que tener en cuenta que $$ A^2=(PDP^{-1})(PDP^{-1})=PDP^{-1}PDP^{-1}=PDDP^{-1}=PD^2P^{-1} $$ y, por fácil inducción, $$ A^n=PD^nP^{-1} $$ por cada $n$ . ¿Ves la diferencia?

Ahora, para calcular el límite, basta con calcular el límite de $D^n$ porque la multiplicación de matrices es continua.

Answer 2

Tenemos que

$$A = PDP^{-1}\implies A^2 = PDP^{-1} PDP^{-1}= PD(P^{-1}P)DP^{-1}= PD (I)DP^{-1}=PD^2P^{-1}$$

y así podemos generalizar el resultado de forma rigurosa para cualquier $n$ por inducción.