Siempre es posible, podemos colocar la $\binom{n}{2}$ pares en un $n \times n$ cuadrado cuando se $n$ es impar y en un $(n-1) \times n$ rectángulo al $n$ es incluso.
Este problema es equivalente al borde de colorear problema para completar la gráfica de $K_n$. Buscar en la wiki de la intuición geométrica subyacente después de la construcción.
Deje $[n]$ ser una forma abreviada de $\{ 0, \ldots, n-1 \}$.
Índice el conjunto de posibles pares por $(i,j) \in [n]^2$ con $i < j$.
Etiqueta de filas y columnas de la gran plaza, en el uso de los números de $[n]$.
Cuando $n$ es impar, coloque el par $(i,j)$ de la fila $k$ de la gran plaza, en donde $i + j \equiv k \pmod n$.
Si dos pares de $(i_1,j_1)$, $(i_2,j_2)$ en la misma fila se intersectan, entonces
uno de los siguientes casos
$$i_1 = i_2 \lor i_1 = j_2\lor j_1 = i_2 \lor j_1 = j_2$$
Desde $i_1 + j_1 \equiv i_2 + j_2 \pmod n$, nos encontramos con
$$(i_1,j_1) = (i_2,j_2) \pmod n \lor (i_1,j_1) = (j_2,i_2) \pmod n$$
Desde $i_1,i_2,j_1,j_2 \in [n]$ e $i_1 < j_1$, $i_2 < j_2$, podemos descartar que el segundo caso. A partir de esto, podemos deducir distintos pares de algunos de fila son disjuntas. Esto generan
un deseada de embalaje de la $\binom{n}{2}$ pares en una $n \times n$ plaza.
Cuando $n$ es incluso, $n - 1$ es impar.
Los par $(i,j) \in [n-1]^2$ en fila $k$ donde $i + j \equiv k \pmod {n-1}$.
Aviso
- Para cada fila $i \in [n-1]$, la ranura en la columna $2i \pmod {n - 1}$ e $n-1$ no está en uso.
- Para cualquier columna $j \in [n-1]$, y sólo el de la ranura en la fila $i \in [n-1]$ no está en uso.
Para los par $(i,j) \in [n]^2 \setminus [n-1]^2$ con $i < j$, tenemos $j = n$.
Podemos colocar el par en la fila $k$ donde $2k = i \pmod {n-1}$. Este va a llenar todos los espacios inutilizados en la primera $n-1$ filas y generar un deseada de embalaje de la $\binom{n}{2}$ pares en una $(n-1) \times n$ rectángulo.
