Tengo 100 cajas. C de ellos recibirán un regalo. Puedo abrir hasta 16 cajas. ¿Cuál es el número de C que me va a dar probabilidad sobre 0,5 a conseguir un regalo?

Question

Detalles: Comenzamos abriendo una caja. Si no hay nada allí, nos abre otra. Una vez que nos encontramos con un regalo, nos puede detener. Cada caja vacía que se abrió se descarta (sin revisar). No puedo encontrar el número de $C$ que le dará la probabilidad de más de $0.5$ mediante la escritura de un programa para tratar de $C=1, C=2$ .. etc.. , pero no puedo resolver la ecuación de $C$ encontrar una más "matemática" y elegante respuesta.

Mi trabajo hasta ahora es:

1) que se Encuentra en el 1er cuadro: $P(1) = \frac{C}{N}$

2) que se Encuentra en el 2do cuadro: $P(2) = \frac{1-C}{N}\cdot\frac{C}{N-1}$

4) que se Encuentra en el 3er cuadro: $P(3) = \frac{1-C}{N}\cdot\frac{1-C/}{N-1}\cdot\frac{C}{N-2}$

Etc...

La adición de ellos hace las cosas muy complicadas de resolver para $C$.

Alguna idea? Gracias de antemano!

Answer 1

Comience con una estimación aproximada: Si el contenido de la caja son independientes, la probabilidad de perder sería $(1-C/100)^{16}$. La equiparación de este a $0.5$ nos da $C\approx 4.2$.

Por lo tanto, podemos confiadamente verificación de los casos de $C=4$: $C=4$ conduce a una pérdida de probabilidad de $$\frac{96\choose 16}{100\choose 16}=\frac{96!84!}{80!100!}=\frac{84\cdot 83\cdot 82\cdot 81}{100\cdot 99\cdot 98\cdot 97}\approx 0.492$$ para ganar una probabilidad ligeramente por encima de $\frac12$. Una mirada más de cerca revela que $C=3$ conduce a una ganancia de probabilidad por debajo de $\frac12$, por lo que la respuesta correcta es $C=4$.

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Tenga en cuenta que el "verdadero" punto de ruptura es así, entre la $3$ e $4$, no se entre $4$ e $5$ como estimación aproximada sugerido - el contenido de la caja no son independientes, después de todo (es decir, si usted encuentra un - raro - don, la probabilidad de encontrar un regalo en otra caja cae dramáticamente).

Answer 2

Como se señaló en los comentarios, encontrar la probabilidad de no obtener un regalo es más fácil, a pesar de que los patrones involucrados ayudar con el cálculo. Supongamos que tenemos seis, en lugar de dieciséis años, a elegir. Tenemos $$\binom {100}{6}=\frac {100!}{6!94!}=\frac {100\cdot 99 \cdot 98\cdot 97\cdot 96\cdot 95}{6!}$$ ways of choosing six boxes, and $$\binom {100-C}{6}=\frac {(100-C)\cdot (99-C) \cdot (98-C)\cdot (97-C)\cdot (96-C)\cdot (95-C)}{6!}$$ ways of choosing six empty ones, so the probability of an empty box is $$p=\frac {(100-C)\cdot (99-C) \cdot (98-C)\cdot (97-C)\cdot (96-C)\cdot (95-C)}{100\cdot 99 \cdot 98\cdot 97\cdot 96\cdot 95}$$

Ahora la configuración de este igual a $0.5$ obtenemos un sextic para $C$. El numerador es monotono en $C$ así que sabemos que el juicio pueda trabajar. Podemos hacer mejor? Bien, si tenemos $q=\frac {98-C}{98}$ , podemos estimar la probabilidad como $p=q^6$, y eso nos da un potencial punto de partida para el juicio a reducir la cantidad de esfuerzo que implica.

[Veo que no hay otra solución que funciona con un simple, pero un poco diferente, estimación]

Answer 3

Como con un montón de binomio de problemas, la manera más fácil de calcular la probabilidad de éxito de N intentos es empezar por calcular la probabilidad de N fracasos y restando la respuesta de 1.

La probabilidad de apertura de 16 cajas vacías (y por lo tanto no encontrar un premio en este caso es:

$\frac{100-C\elegir 16}{100\elegir 16} = \frac{(100-C)!}{16!(84-C)!}\frac{16!84!}{100!} = \frac{(100-C)!84!}{100!(84-C)!} = \frac{84×83×...×(85-C)}{100×99×...×(101-C)} = \frac{84}{100} x\frac{83}{99}×...×\frac{85-C}{101-C} $

En este punto se puede proceder por ensayo y error, multiplicando por un término a la vez.

Para C=1 obtenemos $\frac{84}{100}$ que es claramente $>\frac{1}{2}$

Para C=2, $\frac{84}{100}×\frac{83}{99}=\frac{6972}{9900} \approx 0.704$

Para C=3, $\frac{6972}{9900}×\frac{82}{98} \approx 0.589$

Para C=4, $0.589...×\frac{81}{97} \approx 0.492$

Por lo que el mínimo de C para el cual la probabilidad de perder cae por debajo de 0.5 (y por lo tanto la probabilidad de ganar es por encima de 0,5) es de 4.

Answer 4

Un enfoque alternativo es trabajar en base 10 de los logaritmos. Posibilidad de errores en la de 16 intenta es

$\displaystyle f(C) = \left(\frac{100-C}{100}\right) \times \left(\frac{99-C}{99}\right) \times \left(\frac{98-C}{98}\right) \times \cdots \times \left(\frac{85-C}{85}\right). $

Suponga que usted ha escrito un programa informático que calcula $\;\log_{10}n\;$ para $n\in\{30, 31, \cdots, 100\}.$

Entonces se convierte en un asunto simple para calcular $\;g(C) = \log_{10}f(C).$