Condiciones en una medida compleja para ser reales.

Question

Deje $(X,\mathcal{S}, \mu)$ ser una medida en el espacio de con $X$ localmente compacto Hausdorff espacio, $\mathcal{S}$ los subconjuntos de Borel $X$ $\mu$ un complejo de medir. Supongamos que $$ \int_X f \ d\mu \in \mathbb{R} $$ para todos los $f\in C( X,\mathbb{R} )$ es decir, el continuo de las funciones de la $X$$\mathbb{R}$. Quiero saber si esto implica que $\mu$ es una medida real? De curso con $f\equiv1$ tenemos que $\mu(X) \in \mathbb{R}$, pero no necesariamente esto implica que $\mu(E)\in \mathbb{R}$ todos los $E \in \mathcal{S}?$

Estoy inclinado a pensar que $\mu$ debe ser un habitual de medir para que esto suceda.

Answer 1

A mí me parece que usted necesita para añadir un par de hipótesis. Como dices, el hecho de que $\mu$ es regular es crucial, pero también es necesario que el $\int f d\mu \in \mathbb{R}$ todos los $f \in C_c(X)$ (por supuesto, si $X$ es compacto en sí, a continuación,$C_c(X)=C(X)$)

Con todo esto, de hecho, $\mu$ es una medida real. Para demostrarlo, tome cualquiera de las $E \in \mathcal{S}$, ahora desde $C_c(X)$ es denso en $L^1(X, \mu)$, podemos encontrar una secuencia $(f_n)_n \subset C_c(X)$ tal que $\|f_n-\chi_{E}\|_1 \to 0$$n \to \infty$. Además desde $\mu$ es un complejo de regular medir, a continuación,$|\mu|(X)<\infty$, por lo que $$ \left| \int (f_n-\chi_{E}) d\mu \right| \leq \|f_n-\chi_{E}\|_1 |\mu|(X) \0\text {$n \to \infty$} $$ y por lo tanto $$ \mu(E) = \int \chi_E d\mu = \lim_{n \to \infty} \int f_n d\mu \in \mathbb{R} $$ entonces, por la hipótesis de cada una de las $\int f_n d\mu \in \mathbb{R}$.