Definir un paralelepípedo dorado como $d$ -caja de dimensiones con longitudes de lado $(1, \phi, \phi^2, \ldots, \phi^{d-1})$ , donde $\phi$ es la proporción áurea:
El volumen del paralelepípedo es $\phi^{d(d-1)/2}$ Por ejemplo, $\phi^3$ para $d=3$ . Me pregunto si hay una explicación geométrica natural de la relación $\phi^n = \phi^{n-1} + \phi^{n-2}$ Por ejemplo, $\phi^3 = \phi^2 + \phi$ para $d=3$ ? Estoy imaginando algún tipo de partición o disección del volumen del paralelepípedo dorado que corresponde al $\phi$ ecuación.
Respuesta
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Desde $\phi^2=\phi+1$ podemos romper las aristas de lado $\phi^2$ en partes de longitud $\phi$ y $1$ y la ruptura del sólido a lo largo de ese plano lo divide en trozos de volumen $\phi\times \phi\times 1=\phi^2$ y $1\times\phi\times1=\phi$ demostrando así $\phi^3=\phi^2+\phi$ . La misma idea debería funcionar para cualquier $d$ dado el cuadro con las longitudes $1$ , $\phi$ , ..., $\phi^d$ dividiendo los lados de longitud $\phi^k$ (para cualquier elección de $k$ ) en partes de longitud $\phi^{k-1}$ y $\phi^{k-2}$ y luego dividir el sólido a lo largo de ese hiperplano da piezas de volumen $\phi^{\frac{d(d-1)}{2}-1}$ y $\phi^{\frac{d(d-1)}{2}-2}$ .
