Singularidades esenciales de $\frac 1{e^z-1}$

Question

¿Cómo puedo demostrar que $\frac 1{e^z-1}$ tiene singularidades esenciales (en lugar de, por ejemplo, polos) en $z=2n\pi i(n\in \mathbb Z)$ ?

No sé cómo demostrar que la función hace no ir al infinito cerca de $0$ o que asuma todos los valores posibles cerca de $0$ . Exponiendo la serie laurent alrededor de $0$ no es lo suficientemente general como para demostrar que las singularidades esenciales se producen en todos los puntos indicados.

Answer 1

¡No!

La función en cuestión tiene polos simples. La forma más fácil de ver esto es observar que $\exp(2n\pi i)=1$ por lo que por continuidad $e^z-1$ tiende a cero a medida que $z \rightarrow 2n\pi i$ y por tanto el recíproco tiende a infinito.

Para demostrar que los polos son sencillos, hay que tener en cuenta que $e^z-1$ tiene un cero de grado $1$ en $2n\pi i$ por lo que el recíproco tiene un polo simple y por eso el residuo es

$$\frac{1}{\frac{d}{dz}(e^z-1)}=\frac{1}{e^{2n\pi i}}=1$$

Answer 2

Una idea: utilizando, por ejemplo, l'Hospital, se podría demostrar que

$$\forall\,n\in\Bbb N\;,\;\;\lim_{z\to 2n\pi i}\frac{z-2n\pi i}{e^z-1}\stackrel{\text{l'H}}=\lim_{z\to 2n\pi i}\frac1{e^z}=1$$

por lo que la singularidad $\,z=2n\pi i\;$ es de hecho, un polo: uno simple con residuo $\,1\,$