Grupo no booleano con cada elemento de orden dos

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo (no necesariamente finito) tal que cada elemento de $G$ tiene el orden 2. Todo grupo de este tipo es abeliano [ 1 ].

Claramente, toda álgebra booleana $B$ es un grupo de este tipo, cuando está equipado con la operación de diferencia simétrica.

Pregunta ¿hay algún grupo $G$ tal que no existe un álgebra booleana $B$ equipado con la diferencia simétrica tal que $B$ es isomorfo a $G$ ?

EDITAR: Es claro para mí, que cada grupo de este tipo debe ser una suma directa de $\mathbb Z/2\mathbb Z$ . Esto sugiere un contraejemplo: tomar una suma directa contablemente infinita de $\mathbb Z/2\mathbb Z$ . Claramente, podemos modelar este grupo por todos los subconjuntos finitos de $\mathbb N$ con diferencia simétrica, y esto es no es un álgebra booleana. Pero hay un error en este razonamiento; el sistema de conjuntos en cuestión no es un álgebra booleana como un sistema de conjuntos . Todavía puede ser un álgebra booleana como un grupo abeliano .

¿O no?

Answer 1

Escriba $G$ como una suma directa de copias de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ sobre algún conjunto de índices $X \cup \{e\}$ . Entonces es isomorfo como grupo abeliano al álgebra booleana de todas las finitas o cofinito subconjuntos de $X$ (donde la presencia o ausencia del elemento base correspondiente a $e$ le indica si un elemento determinado de $G$ corresponde a un subconjunto finito o cofinito).