Divisor canónico en el producto simétrico de una curva hiperelíptica

Question

Dejemos que $C$ sea una curva hiperelíptica de género $g$ y que $S = C^{(2)}$ denotan el cuadrado simétrico de $C$ . Sea $\nabla$ sea el divisor en $C^2$ definido por $\{(P, \overline{P}) \mid P \in C\}$ donde $\overline{P}$ denota la imagen de $P$ bajo la involución hiperelíptica. Por último, dejemos que $\nabla_S$ sea el avance de $\nabla$ bajo el mapa de cociente $C^2 \to S$ .

Si $g = 2$ entonces $S$ es la ampliación del jacobiano $J_C$ de $C$ en el origen con el divisor excepcional $\nabla_S$ . Así, por los resultados de la sección V.3 de Hartshorne sobre las relaciones entre las explosiones y el emparejamiento de intersección, concluimos inmediatamente que $\nabla_S$ es un divisor canónico de $S$ y tiene auto-intersección $-1$ . Me gustaría saber cómo hacer estos cálculos sin la muleta de usar soplos, y por lo tanto, con un poco de suerte, obtener los resultados análogos para cuando $g>2$ . Por lo tanto, mi pregunta es

¿Cómo puedo calcular un divisor canónico, y su número de auto-intersección, del cuadrado simétrico de una curva hiperelíptica de género $g>2$ ?

Answer 1

Dejemos que $\pi: C^2\to S$ sea el morfismo cociente canónico. Es etéreo fuera de la diagonal $\Delta$ de $C^2$ . Sea $K$ sea el campo base. El mapa canónico de diferenciales $$ \pi^*\Omega_{S/K}^1\to \Omega^1_{C^2/K}$$ es entonces un isomorfismo fuera de $\Delta$ e induce un homomorfismo inyectivo $\pi^*\omega_{S/K}\to \omega_{C^2/K}$ de las láminas canónicas. Así que $\pi^*\omega_{S/K}=\omega_{C^2/K}(-D)$ para algún divisor efectivo $D$ en $C^2$ , con apoyo en $\Delta$ Por lo tanto $D=r\Delta$ para algún número entero $r\ge 0$ . La multiplicidad $r$ puede calcularse localmente para la topología de Zariski, e incluso para la topología étale en $C$ . Así que podemos trabajar con Spec ( $K[x]$ ) y encontrar $r=1$ : $$ \pi^*\omega_{S/K}=\omega_{C^2/K}(-\Delta).$$ Esto debería ser suficiente para describir un divisor canónico en $S$ entre el pushforward de un divisor canónico de $C^2$ y de $\pi(\Delta)$ . La autointersección debería calcularse fácilmente con la fórmula de proyección. Si no es así, pida más detalles.

Editar Cálculo de la multiplicidad $r$ . Sea $\xi$ sea el punto genérico de $\Delta$ y $\eta=\pi(\xi)$ . Entonces $$ \omega_{S/K, \xi}\otimes O_{C^2,\xi}=(\pi^*\omega_{S/K})_{\xi}=\omega_{C^2/K}(-r\Delta)_{\xi}=\omega_{C^2/K,\xi}(-r\Delta).$$ Esto explica por qué $r$ se puede calcular localmente Zariski. Sea $U$ sea un subconjunto abierto denso de $C$ . Entonces se puede calcular $r$ en $U^2\to U^{(2)}$ . Si podemos escribir $U$ como una cubierta de étala $U\to V\subseteq \mathbb A^1_K$ , entonces el mapa $$ \pi^*\Omega_{U^{(2)}/K}^1\to \Omega^1_{U^2/K}$$ es sólo el retroceso del mapa $$ \pi^*\Omega_{V^{(2)}/K}^1\to \Omega^1_{V^2/K}.$$ Si se toma una base local $dx, dy$ para $\Omega^1_{V^2/K}$ entonces $d(x+y), d(xy)$ es una base local para $\Omega^1_{V^{(2)}/K}$ y sus retrocesos a $U^2$ (resp. $U^{(2)}$ ) son bases locales, y $r$ se puede calcular con estas bases locales. Ahora $\omega_{V^2/K}$ es generado por $dx\wedge dy$ y $\omega_{V^{(2)}/K}$ es generado por $d(x+y)\wedge d(xy)$ que la imagen en $\omega_{V^2/K}$ es $(x-y)(dx\wedge dy)$ . Como $x-y$ genera localmente el ideal de $\Delta$ vemos que $r=1$ .

Answer 2

La auto intersección de la diagonal de una curva $C$ en $C \times C$ es sólo $2 - 2g$ . (Esta es una forma del teorema del índice de Poincare--Hopf.) La auto-intersección de la gráfica de la involución hiperelíptica es también $2 - 2g$ (ya que es la imagen de la diagonal bajo el automorfismo $(P,Q) \mapsto (P,\bar{Q})$ de $C^2$ .

Si cotizamos por la involución de $C^2$ dado por transposición, para obtener $Sym^2 C$ entonces la auto-intersección se reduce a la mitad, y así obtenemos que la imagen de la gráfica de la involución hiperelíptica tiene auto-intersección $1 - g$ .