¿Podría entenderse por "$\infty$" tomando los recíprocos de los números Hyperreal?

Question

Cuando el aprendizaje de las matemáticas se nos dice que el infinito no está definido. (*)

Recientemente leí acerca de los infinitesimales versión de Cálculo y cómo podemos, de hecho, el tratamiento de $dy/dx$ como fracción dentro de este enfoque (algo que no podemos ver con los límites). Esto se logra mediante la construcción de la Hyperreal números de $^*\mathbb{R}$, que contienen los números reales y los números infinitesimales (todos los números positivos mayores que cero, pero menor que cualquier número real).

Pensando en volver a (*) me pregunto, podría sentido de infinito se hizo de alguna manera, incluyendo el recíproco infinitesimal números? Presumiblemente, estos números se define desde lo infinitesimal números nunca son cero.

Answer 1

De hecho, los números infinitos son una parte de los números Hyperreal. Solo esta echa un vistazo en la Wikipedia.

Answer 2

El símbolo $\infty$ fue introducido por John Wallis en el siglo 17 como un signo de un número infinito que puede ser utilizado en los cálculos, tales como el cálculo de áreas, y él también se utiliza infinitesimals de la forma $\frac{1}{\infty}$ para este propósito. Los procedimientos en que se basa Wallis son similares a los encontrados en los libros modernos sobre la hyperreals. Por lo tanto, puede ser tentador usar el símbolo $\infty$ Wallis hizo para denotar un número infinito, pero esto puede ser confuso porque el símbolo se utiliza a menudo como una parte de la notación como la suma de una serie de $\sum_{i=0}^\infty u_i$ donde no tiene otro significado que como un recordatorio de que un límite fue tomada en la evaluación de la serie. En este sentido la afirmación de que "$\infty$ es una entidad que no existe" es una cuestión de convención.

Answer 3

No. El símbolo $\infty$ como se utiliza en el análisis generalmente significa que ya sea positivo infinito elemento de affinely extendido real de la línea (en este caso también habría $-\infty$ como otro elemento) o (más raramente) el infinito elemento de la projectively extendida de la línea real.

En el segundo caso es el inverso multiplicativo de cero ($\frac 10=\infty$).

Así que, de hecho, usted puede utilizar el símbolo como parte de un sistema numérico, pero tal sistema se llama de forma diferente (afín línea real o proyectivo real de la línea).

Si se considera el hyperreal números, no hyperreal número tiene las propiedades generalmente atribuido a símbolo $\infty$. Por ejemplo, para cualquier número hyperreal $a$, $a+1\ne a$, mientras que $\infty$ es generalmente definida como la presencia de la propiedad de invariancy en contra de la suma: $\infty+1=\infty$.

Dicho esto, por supuesto, que se puede extender la hyperreal números afín o proyectiva manera como lo hacemos con los números reales mediante la adición de $\infty$ como un elemento pero esto no es diferente de la forma de reales puede ser extendida.