¿Polinomios de grado segundo generar tantos como nosotros deseamos números primos en la forma descrita?

Question

Mientras yo estaba en mis pijamas, hace unos minutos, el polinomio de Euler $n^2+n+41$ vinieron a mi mente. Como ustedes saben, este polinomio es famoso debido a que el conjunto de $\{f(0),f(1),...f(39)\}$ se compone de los números primos, por lo que esto polinomio toma por primera $40$ de sus valores en el conjunto de $\mathbb N_0$ sólo números primos.

Así que la pregunta natural es:

Es cierto que para cada $m \in \mathbb N$ existe de segundo grado real polinomio de una variable real $P$ y un número de $k(m) \in \mathbb N$ de manera tal que todos los números en el conjunto $\{P(k(m)), P(k(m)+1),...,P(k(m)+m-1)\}$ son números primos?

Answer 1

Sí. De hecho, usted ni siquiera necesita el término cuadrático: hay grado de $1$ polinomios da arbitrariamente largas secuencias de números primos por el teorema de Green-Tao. (Por supuesto, también podría dejar $P$ ser una primer constante).

Answer 2

Esto sigue de Teorema de Green-Tao: existen aritméticas arbitrariamente largas secuencias de números primos.
Si $$ak+b,a(k+1)+b,\ldots,a(k+m^2)+b$ $ son primer, podemos tomar $P(n)=a(k+n^2)+b$, siendo el primer $n=0,\ldots,m$.

Tenga en cuenta que lo mismo funciona si requerimos $\deg P=1$.

Answer 3

Si se permite a los no-monic polinomios la pregunta no es muy aritmética en la naturaleza.

Cualquier clase de funciones enteras cerrado bajo las operaciones de $f(n) \to Af(n)+B$ con entero $A,B$, es la garantía de tener esta propiedad para cualquier conjunto que contiene a largo progresiones aritméticas (como los números primos, por el Verde/Tao teorema como personas han mencionado). Esto incluye el grado $k$ polinomios de cualquier $k$.

Para monic no-lineal de los polinomios, mientras $f(n)$ no asume todos los valores de mod $p$ para algunos primo, entonces para todos los $k$ no es un número entero $A$ tal que $(f(x) + A)$ no tiene congruencia obstrucción a tener una cadena de $k$ consecutivos prime valores. De acuerdo a la Hipótesis H conjeturas (Schinzel, Bateman-Horn) cadenas de entonces se producen infinitamente a menudo.