Lo que sigue es una versión de la declaración de que quieren demostrar que se supone que los dos cuadros están relacionados por un espacio-tiempo de la transformación que deja invariable en el tiempo hasta la traducción y que preserva las distancias Euclídeas. Debido a estas hipótesis, la siguiente declaración es un Newtoniano respuesta a la pregunta. Estoy seguro, sin embargo, que una similar en especial-relativista respuesta puede ser construida.
El siguiente teorema esencialmente dice que aunque solo la Primera Ley de Newton se requiere ser preservada en la transformación entre amigos, los marcos deben estar relacionados por una transformación de Galileo, por lo que deben estar en la misma clase de equivalencia.
Teorema. Vamos dos veces diferenciable, la orientación de la conservación, el tiempo-dependiente de la distancia Euclídea isometría $T:\mathbb R\to \mathrm{ISO}(3)$, y deje $t_0$ ser un número real. Si el espacio-tiempo de transformación
\begin{align}
G(t,\mathbf x) = (t+t_0, T(t)(\mathbf x))
\end{align}
conserva la Primera Ley de Newton, a continuación, $G$ es Galileo.
Prueba. $T(t)$ puede ser escrito como un dependiente del tiempo de rotación, además de un tiempo-dependiente de la traducción:
\begin{align}
T(t)(\mathbf x) = R(t)\mathbf x + \mathbf c(t).
\end{align}
Por lo tanto, bajo la acción de $G$, una línea recta $\mathbf x_0 + t\mathbf v_0$ obtiene asignada en la siguiente curva:
\begin{align}
R(t)(\mathbf x_0 + (t+t_0)\mathbf v_0) + \mathbf c(t)
\end{align}
Si $G$ preserva la Primera Ley de Newton, entonces esto transformó la curva debe tener la aceleración de cero, no importa que $\mathbf x_0$ $\mathbf v_0$ elegimos. Por lo tanto,
\begin{align}
\frac{d^2}{dt^2} \big[R(t)(\mathbf x_0 + (t+t_0)\mathbf v_0) + \mathbf c(t)\big] = \mathbf 0,
\end{align}
para todos los $\mathbf x_0,\mathbf v_0\in\mathbb R^3$. La distribución de los derivados en el lado izquierdo da
\begin{align}
\ddot R(t) \mathbf x_0 + \ddot R(t) (t+t_0)\mathbf v_0 + 2\dot R(t) \mathbf v_0 + \ddot{\mathbf c}(t) = \mathbf 0
\end{align}
La elección de $\mathbf x_0 = \mathbf v_0 = \mathbf 0$ da $\ddot{\mathbf c}(t) = 0$, lo que implica que existe una constante vectores $\mathbf c$ $\mathbf v$ tal que $\mathbf c(t) = \mathbf c + t \mathbf v$. Usando esto le da a la reducción de la restricción
\begin{align}
\ddot R(t) \mathbf x_0 + \ddot R(t) (t+t_0)\mathbf v_0 + 2\dot R(t) \mathbf v_0 = \mathbf 0.
\end{align}
Ahora, recogiendo $\mathbf v_0 = \mathbf 0$ da $\ddot R(t) \mathbf x_0 = \mathbf 0$ todos los $\mathbf x_0$, y esto a su vez significa que el $\ddot R(t) = 0$. Usando esto reduce aún más a
\begin{align}
\dot R(t)\mathbf v_0 = \mathbf 0
\end{align}
para todos los $\mathbf v_0$, y esto implica que $\dot R(t) = 0$. Esto significa que hay una constante rotación $R$ tal que $R(t) = R$. Poniendo todo esto junto, nos encontramos con que nuestro original isometría $T(t)$ toma la forma siguiente:
\begin{align}
T(t) = R\mathbf x + \mathbf c + t\mathbf v
\end{align}
y, por tanto, $G$ es de Galileo, es decir, que consta sólo de una traducción en tiempo, una constante espacial de traducción, Galileo impulso de velocidad constante, y una rotación constante. $\blacksquare$.
