Supongamos que$P(x)\in\mathbb{Q}[x]$ es irreducible sobre$\mathbb{Q}$, y que$K$ sea el$n$ - campo ciclotómico. ¿Hay un criterio simple para saber si$P$ sigue siendo irreductible sobre$K$? (Preferiblemente una condición necesaria y suficiente, a diferencia de la de Eisenstein).
Respuesta
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Un polinomio $P(x) \in \mathbb{Q}[x]$ es irreductible, el fib es un primer elemento en el anillo de $\mathbb{Q}[x]$ fib $\mathbb{Q}[x]/(P(x))$ es un campo de decir $L$. Decir que el polinomio sigue siendo irreductible en una extensión de $K/\mathbb{Q}$ es decir que $\mathbb{Q}[x]/(P(x)) \otimes_{\mathbb{Q}} K$ es un campo, es decir, que los campos $K$ $L$ son linealmente disjuntos $\mathbb{Q}$.
En su caso, su prórroga $K/\mathbb{Q}$ es de Galois, entonces estás de suerte: si $K,L/\mathbb{Q}$ son dos finito de grados de campo de las extensiones de al menos uno de los cuales es de Galois, entonces lineal disjointness es equivalente a $K \cap L = \mathbb{Q}$.
Así que ahí está su condición necesaria y suficiente: si desea que los $L \cap \mathbb{Q}(\zeta_N) = \mathbb{Q}$. Esta es una condición que un matemático paquete de software será capaz de comprobar dado $P$$N$. Yo no soy un computacional número teórico, pero quiero imaginar que un equipo tendrá un tiempo mucho más fácil de comprobar esto que, por ejemplo, la factorización $P$$\mathbb{Q}(\zeta_N)$.
