Estoy intentando calcular el Khovanov la homología de la unknot el uso de la figura de ocho en el diagrama de la unknot con exactamente una travesía que va desde la parte superior izquierda a la inferior derecha, como se muestra a continuación.
Yo también incluyen la convención de que voy a utilizar para las resoluciones de los cruces.
Yo calculo que el resultado de la cadena compleja dada por este diagrama es $$\cdots\to 0\to V\otimes V\stackrel{m}{\to} V\to0\to\cdots$$ where $V$ is the graded abelian group $\mathbb{Z}_{(1)}\oplus\mathbb{Z}_{(-1)}$ (I'll drop the gradings from here as I don't think they play any part in my eventual misunderstanding - I could be wrong) generated by $v_+$ and $v_-$ and $m$ es el mapa que actúa sobre los generadores por $$\begin{array}{rcl}m(v_-\otimes v_-)&=&0\\ m(v_+\otimes v_-)&=&v_-\\ m(v_-\otimes v_+)&=&v_-\\ m(v_+\otimes v_+)&=&v_+.\end{array}$$
Aquí vemos que el meollo de $m$ es de libre generado por $v_-\otimes v_-$$v_-\otimes v_+ - v_+\otimes v_-$, por lo que tenemos que $H^{Kh}_0\cong\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}$, e $m$ es surjective lo $H^{Kh}_1$ es trivial.
Ahora considere el espejo de la imagen del diagrama anterior que todavía es isotópico a la unknot, y con la misma elección del cruce de las resoluciones. Debido a nuestra selección de resoluciones, ahora obtenemos el complejo de cadena $$\cdots\to 0\to V\stackrel{\Delta}{\to} V\otimes V\to0\to\cdots$$ where $\Delta$ es el mapa que actúa sobre los generadores por $$\begin{array}{rcl}\Delta(v_-)&=&v_-\otimes v_-\\ \Delta(v_+)&=&v_+\otimes v_- + v_-\otimes v_+.\end{array}$$
Aquí vemos que el meollo de $\Delta$ es trivial, por lo $H^{Kh}_0$ es trivial, sino $\mbox{Im}\Delta\cong \mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}$$H^{Kh}_1\cong\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}$.
Parece que me estoy perdiendo algo, como he cambiado inadvertidamente homológica grados, en algún lugar donde no debería haber (o no se donde debo tener), o necesito tal vez dualise el complejo de cadena, por alguna razón, cuando se toma la imagen en el espejo de nuestra nudo. Que de mis cálculos anteriores es correcta (o ambos?) y no soy yo la comprensión de algunos paso crucial en la definición de la Khovanov homología de un nudo que ha llevado a este error?
