Probabilidad de reunión de dos banqueros: rompecabezas de distribución uniforme

Question

Dos banqueros de cada uno llegar a la estación en algún momento aleatorio entre 5PM y 6PM (hora de llegada de cada uno de ellos se distribuye de forma homogénea). Ellos estancia exactamente cinco minutos y luego se van. ¿Cuál es la probabilidad de que se reunirán en un día dado?

No estoy seguro de cómo ir sobre la modelización de este problema, como a la distribución uniforme y la solución. Agradecemos cualquier ayuda.

Aquí es cómo voy a empezar con esto: Supongamos que Un banquero llega X minutos después de las 5PM y B llega Y minutos después de las 5PM. Tanto X como y están distribuidos de manera uniforme entre las 5PM y 6PM. Así pdf de X, Y es $\frac{1}{60}$. Ahora a y B se cumple si $|X - Y| < 5$.

Así lo exige la probabilidad es $P(|X - Y| < 5)$ = Integral de la distribución conjunta de la función de $|X - Y|$$0$$5$?

Ahora no está seguro de cómo escribir la ecuación a partir de este punto y resolverlo.

Respuesta: $\frac {23}{144}$

Answer 1

Sugerencia: Si$f_{X,Y}$ es el pdf multivariado, entonces desea resolver la siguiente integral $$ \ int_ {0} ^ {60} \ int _ {\ max \ {0, x-5 \}} ^ {\ min \ {60, x +5 \}} f_ {X, Y} (x, y) dydx. $$

Answer 2

Sugerencia:

Vamos a considerar la situación en términos de minutos. Nos damos cuenta de que de que van a cumplir sólo si $|X-Y|\leq 5/60$ donde $X,Y$ es la hora de llegada como una fracción de la hora. Nos damos cuenta de que $X,Y\overset{iid}{\sim} \text{unif(0,1)}$. Entonces el problema se convierte en $$P(|X-Y| \leq 5/60).$$ Esto ayudará a dibujar una imagen. No hay integración que se requiere.

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Usted puede hacerlo teniendo en cuenta el$X,Y\overset{iid}\sim\text{unif}(1,60)$.

Observe que queremos que la parte azul. También, observe que por el contrario, podemos considerar el complemento \begin{align*} P(|X-Y|<5) &= P(-5<X-Y<5)\\ &=P(\text{blue})\\ &= 1-P(\text{Not blue})\\ &= 1-2\bigg[\underbrace{(1/2)\cdot55\cdot55\cdot 60}_{(1)}/\underbrace{60^3}_{(2)}\bigg]\\ &= 1-\left(\frac{55}{60}\right)^2 \\ &= \frac{23}{144} \end{align*}

donde en

1. Que es el volumen de una cuña
2. Que es todo el volumen.