Encuentre el resto cuando $ 528528528...$ hasta $528$ dígitos se divide por $27$ ?

Question

Encuentre el resto cuando $528528528...$ hasta $528$ dígitos se divide por $27$ ?
Esto es lo que he hecho: El número se puede escribir como $528\cdot 10^{525}+528\cdot 10^{522}+...+528$ que tiene $176$ términos y cada término es $\equiv15 \mod 27$ por lo que el número debe ser $176*15 \mod 27$ por lo que $21$ debería ser el resto. Pero el libro dice que es $6$ . No entiendo el fallo en mi lógica. Por favor, corrígeme.

Answer 1

Aquí hay una sesión de python3

>>> s = '528' * 176
>>> len(s)
528
>>> int(s) % 27
21

Answer 2

Puede ver que $6$ no se puede corregir echando $9$ 's: Desde $5+2+8=5+5+5$ tenemos

$$528528\ldots528\equiv5+5+5+\cdots+5+5+5=5\cdot528\equiv5(5+2+8)\equiv5\cdot6\equiv3\mod 9$$

por lo que el resto mod $27$ debe ser $3$ , $12$ o $21$ . Su enfoque dio la respuesta correcta, $21$ .

Answer 3

Desde $3\mid111$ sabemos que $27\mid999$ Por lo tanto, $$ 1000\equiv1\pmod{27} $$ Así, $$ \begin{align} \sum_{k=0}^{175}528\cdot1000^k &\equiv528\cdot176\pmod{27}\\ &\equiv3\cdot176^2\pmod{27}\\ &\equiv3\cdot14^2\pmod{27}\\ &\equiv3\cdot7\pmod{27}\\ &\equiv21\pmod{27} \end{align} $$

Answer 4

Se equivoca al suponer que $10^{k} \equiv 1 \mod 27$ . Como $10^k \not \equiv 1$ no tenemos $528*10^k \equiv 15 \mod 27$ .

Lo que necesitas en cambio es $528528... = 528(1001001001......)$

Y $1001001..... =\sum_{k=0}^{175} 10^{3k}$

$10^3 \equiv 1 \mod 27$ ... Oh... nosotros hacer y no te equivocaste después de todo.... así que $\sum 10^{3k}\equiv 176 \equiv 14 \mod 27$ .

Así que $528528....... \equiv 15*14 \equiv 21 \mod 27$ .

Y... el libro está equivocado.

Si hubieran sido 527 iteraciones de 528 la respuesta sería $6$ .

Answer 5

Tenga en cuenta que $27 \times 37 = 999$ .

Para encontrar el resto que se obtiene al dividir $528528\cdots 528$ por $999$ , puedes "expulsar" $999$ s.

$\underbrace{528 + 528 + \cdots 528}_{\text{$ 176 $ times} } \to 176 \times 528 \to 92928 \to 92+928 \to 1020 \to 21$

Así que el resto es $21$ .

Nota. Si el resto fuera mayor que 26, tendrías que haberlo dividido entre 27 para obtener el resto correcto.