Evaluar $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1-2^k}{3^k}$

Question

Intento encontrar la suma de las siguientes series infinitas

$$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1-2^k}{3^k}$$

Intenté iniciar el problema con la reescritura como $\dfrac13+\left(\frac{-2}{3}\right)^k$ ¿Estoy en el camino correcto?

Answer 1

Buen comienzo pero, debería escribirse como $$\sum_{k=0}^\infty\frac{1-2^k}{3^k}=\sum_{k=0}^\infty\left(\frac{1}{3}\right)^k-\sum_{k=0}^\infty\left(\frac{2}{3}\right)^k $$

Ahora ambas series son GP, ¡espero que puedan seguir adelante!

$$\sum_{k=0}^\infty\left(\frac{1}{3}\right)^k=\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac32$$$$\sum_ {k=0}^ \infty\left ( \frac {2}{3} \right )^k= \frac {1}{1- \frac23 }=3$$

Answer 2

Debería reescribirse como $(\frac{1}{3})^k-(\frac{2}{3})^k$