topología, base, dijo mi profesor ... ¿alguien puede aclarar?

Question

Mi profesor escribió esto:

"Para el estudio de algunos topológico de la propiedad, siempre podemos, sin pérdida de generalidad, sólo se centran en una base para la topología."

Puede alguien explicar esto, y tal vez dar un simple ejemplo? Yo trate de un ejemplo a continuación: Si quieres probar algo de la función $f\colon X \to Y$ es continua en, usted no tiene que tomar una arbitraria conjunto abierto en $Y$ y muestran que su pre-imagen abierta en $X$. En su lugar, usted puede tomar una base de elemento de $Y$'s de la topología y de mostrar su pre-imagen abierta en $X$.

Gracias

Answer 1

Por supuesto. La idea clave aquí es que cualquier conjunto abierto puede escribirse como una unión de elementos de su base.

Tomemos no cualquier conjunto abierto en$Y$, sino un elemento base$B$. Es suficiente para mostrar que$f^{-1}(B)$ está abierto para cualquier$B$. Luego, si$U=\bigcup B_i$ es un conjunto abierto,$f^{-1}(U)=\bigcup f^{-1}(B_i)$ es una unión de conjuntos abiertos, por lo tanto, abierto.

Otro ejemplo: un conjunto es compacto si alguno de los elementos de cubierta por base tiene una subcapa finita.

Answer 2

La idea aquí es que la toma de los sindicatos es a menudo un procedimiento inofensivo que puede conmutar con las diferentes operaciones. Si podemos demostrar que algunos bienes se sostiene en la base para una topología, a veces puede extender a todos los bloques abiertos por tomar los sindicatos.

En tu ejemplo, supongamos que $B$ es un básico de conjunto abierto, y $f^{-1}(B)$ está abierto en $X$. Ya que cada conjunto abierto $U$ puede ser escrito como una unión de $\bigcup_{i} B_{i}$ de abrir sets, entonces

$$f^{-1}(U) = f^{-1}(\bigcup_{i} B_{i}) = \bigcup_{i} f^{-1}(B_{i})$$

Desde cada una de las $f^{-1}(B_{i})$ está abierto en $X$, su unión a $\bigcup_{i} f^{-1}(B_{i})$ también está abierto en $X$, por lo que el $f$ es continua.