Evaluar el límite $\lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{\tan^{2}x}\right)$

Question

<blockquote> <p>Evaluar el límite $$\lim_{x \to 0}\left( \frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{\tan^{2}x}\right)$ $</p> </blockquote> <p>Mi intento de</p> <p>Así tenemos %#% $ #%</p> <p>$$\frac{1}{x^{2}}-\frac{\cos^{2}x}{\sin^{2}x}$$ $$=\frac{\sin^2 x-x^2\cos^2 x}{x^2\sin^2 x}$$</p> <p>Entonces tengo límites de $$=\frac{x^2}{\sin^2 x}\cdot\frac{\sin x+x\cos x}{x}\cdot\frac{\sin x-x\cos x}{x^3}$ $3$ $ de evaluar</p> <p>$$\lim_{x \to 0}\frac{x^2}{\sin^2 x}=\left(\lim_{x \to o}\frac{x}{\sin x}\right)^2=1^2=1$$</p> <p>Ahora estoy teniendo problemas con el último que es $$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x+x\cos x}{x}=\lim_{x \to 0}\left(\frac{\sin x}{x} + \cos x\right)=1+1=2$ $</p> <p>Gracias por cualquier ayuda.</p>

Answer 1

Usando la regla de L'Hospital (ya que la evaluación directa da $\bigl(\frac{0}{0}\bigr)$), tenemos los siguientes:

$$\lim{x \to 0} \frac{\cos x-\cos x +x\sin x}{3x^2}= \lim{x \to 0} \frac{\sin x}{3x}.$$

Otra vez tomamos la derivada del numerador y denominador:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{3} = \frac{1}{3}.$$

Answer 2

Para tu problema final utilizaría la regla de L'Hospital para obtener:

$$\lim{x \to 0} \frac{x \sin(x)}{3x^2} \implies \lim{x \to 0} \frac{\sin(x)}{3x} \ \hspace{.1cm} \text{using L'Hospital's again}, \hspace{.1cm} \ \lim_{x \to 0}\frac{\cos(x)}{3} = \frac{1}{3}.$$

Answer 3

Se hace mucho más simple de la siguiente manera con una sola aplicación de LHR. \begin{align} L &= \lim{x \to 0}\left(\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{\tan^{2}x}\right)\notag\ &= \lim{x \to 0}\frac{\tan^{2}x - x^{2}}{x^{2}\tan^{2}x}\notag\ &= \lim{x \to 0}\frac{\tan^{2}x - x^{2}}{x^{4}}\cdot\frac{x^{2}}{\tan^{2}x}\notag\ &= \lim{x \to 0}\frac{\tan^{2}x - x^{2}}{x^{4}}\cdot 1\notag\ &= \lim{x \to 0}\frac{\tan x - x}{x^{3}}\cdot \frac{\tan x + x}{x}\notag\ &= \lim{x \to 0}\frac{\tan x - x}{x^{3}}\cdot \lim{x \to 0}\left(\frac{\tan x}{x} + 1\right)\notag\ &= 2\lim{x \to 0}\frac{\tan x - x}{x^{3}}\notag\ &= 2\lim{x \to 0}\frac{\sec^{2}x - 1}{3x^{2}}\text{ (via LHR)}\notag\ &= \frac{2}{3}\lim{x \to 0}\frac{\tan^{2}x}{x^{2}}\notag\ &= \frac{2}{3}\notag \end {Alinee el}

Answer 4

Creo que este límite sería considerablemente más fácil usar serie de Taylor en lugar de LHR.

$ \frac{\sin^2(x)-x^2\cos^2(x)}{x^2\sin^2(x)} \approx \frac{(x-\frac{x^3}{6})^2-x^2(1-\frac{x^2}{2})^2}{x^2(x)^2}=\frac{\frac{2x^4}{3}+O(x^5)}{x^4} \rightarrow \frac{2}{3} $