¿Puede utilizar ambos lados de una ecuación para probar la igualdad de?

Question

For example:

$\color{red}{\text{Show that}}$$$\color{red}{\frac{4\cos(2x)}{1+\cos(2x)}=4-2\sec^2(x)}$$

En la escuela secundaria, mi profesor de matemáticas me dijo

Para probar la igualdad de la ecuación; se comienza en un lado y manipular algebraicamente hasta que sea igual para el otro lado.

Así que a partir de la LHS: $$\frac{4\cos(2x)}{1+\cos(2x)}=\frac{4(2\cos^2(x)-1)}{2\cos^2(x)}=\frac{2(2\cos^2(x)-1)}{\cos^2(x)}=\frac{4\cos^2(x)-2}{\cos^2(x)}=4-2\sec^2(x)$$ $\gran\fbox{}$

En la Universidad, mi Matemáticas Análisis de la maestra me dice

Para demostrar que un enunciado es verdadero, usted debe no usar lo que usted está tratando de demostrar.

Así que, usando el mismo ejemplo de antes:

LHS = $$\frac{4\cos(2x)}{1+\cos(2x)}=\frac{4(2\cos^2(x)-1)}{2\cos^2(x)}=\frac{2(2\cos^2(x)-1)}{\cos^2(x)}=\frac{2\Big(2\cos^2(x)-\left[\sin^2(x)+\cos^2(x)\right]\Big)}{\cos^2(x)}=\frac{2(\cos^2(x)-\sin^2(x))}{\cos^2(x)}=\bbox[yellow]{2-2\tan^2(x)}$$

RHS =$$4-2\sec^2(x)=4-2(1+\tan^2(x))=\bbox[yellow]{2-2\tan^2(x)}$$

So I have shown that the two sides of the equality in $\color{red}{\rm{rojo}}$ are equal to the same highlighted expression. But is this a sufficient proof?

Since I used both sides of the equality (which is effectively; using what I was trying to prove) to show that $$\color{red}{\frac{4\cos(2x)}{1+\cos(2x)}=4-2\sec^2(x)}$$

One of the reasons why I am asking this question is because I have a bounty question which is suffering from the exact same issue that this post is about.

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EDIT:

Comments and answers below seem to indicate that you can use both sides to prove equality. So does this mean that my high school maths teacher was wrong?

$$\bbox[#AFF]{\text{Suppose we have an identity instead of an equality:}}$$ $$\bbox[#AFF]{\text{Is it plausible to manipulate both sides of an identity to prove the identity holds?}}$$

Gracias.

Answer 1

No hay ningún conflicto entre su maestro de la escuela secundaria del consejo

Para probar la igualdad de la ecuación; se comienza en un lado y manipular algebraicamente hasta que sea igual para el otro lado.

y su profesor

Para demostrar que un enunciado es verdadero, usted debe no usar lo que usted está tratando de demostrar.

Como en Siddarth Venu la respuesta, si usted demuestre $a = c$ $b = c$ ("trabajo de ambos lados"), a continuación, $a = c = b$ por la transitividad de la igualdad. Esto se ajusta tanto a su maestro y del consejo del profesor.

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Tanto su profesora de secundaria y profesor de la universidad de dirección son los que lejos de "dos columnas pruebas" del tipo: \begin{align*} -1 &= 1 &&\text{To be shown;} \\ (-1)^{2} &= (1)^{2} && \text{Square both sides;} \\ 1 &= 1 && \text{True statement. Therefore %#%#%.} \end{align*} Aquí, usted asume lo que quieres demostrar, deducir una declaración verdadera, y afirmar que la hipótesis original era cierto. Esta es una mala lógica de por lo menos dos evidentes razones:

1. Si asumimos $-1 = 1$, no hay necesidad de demostrar $-1 = 1$.

2. Lógicamente, si $-1 = 1$ denota la declaración "$P$" e $-1 = 1$ denota "$Q$", el anterior argumento muestra "$1 = 1$ implica $P$ $Q$ es verdadero", lo que no elimina la posibilidad de "$Q$ es falso".

Lo que usted puede hacer, lógicamente, es el comienzo ("provisionalmente", sobre el papel de cero) con la declaración de $P$ estás tratando de probar y realizar lógicamente reversible operaciones en ambos lados hasta llegar a una verdadera declaración de $P$. Una prueba puede entonces ser construidos a partir de $Q$ y trabajando hacia atrás hasta llegar a $Q$. Muchas veces, hacia atrás argumento puede ser formulado como una secuencia de igualdad, conforme a su consejo del maestro. (Tenga en cuenta que en la fase inicial de la búsqueda de una prueba, usted no está obligado por cualquier cosa: Usted puede hacer inspirados en conjeturas, suposiciones adicionales, y similares. Sólo cuando escribas una prueba final debe ser cuidadoso para no asumir más de lo que se da, y para hacer lógicamente válida deducciones.)

Answer 2

Es bastante... Considere este ejemplo:

Para probar: $a=b$

Prueba: $$a=c$ $ $$b=c$ $ desde $a$ y $b$ equivalen a lo mismo, $a=b$.

Es la técnica exacta que usas y que pueden utilizarse.

Answer 3

Para demostrar que un enunciado es verdadero, usted debe no utilizar lo que usted está tratando de probar.

El principal problema es que he entendido mal lo que el segundo maestro dijo (y, posiblemente, el significado del signo igual). Lo segundo que el maestro está diciendo es que no tome como antes de los hechos de lo que usted está tratando de demostrar.

Como un libro de texto lo pone (Setek y Gallo, Fundamentos de Matemáticas, 10ª Edición, Seg 3.8), "Un argumentoo prueba, se compone básicamente de dos partes: las declaraciones formuladas, las cuales son llamadas premisas y de la conclusión". Wikipedia dice esto (procedente de Cupillari, Antonella. Las Tuercas y los Pernos de las Pruebas. Academic Press, 2001. Página 3.): "En las matemáticas y la lógica, una prueba directa es una forma de demostrar la verdad o falsedad de una sentencia dada por una sencilla combinación de los hechos establecidos, generalmente de axiomas, existente lemas y teoremas, sin hacer suposiciones."

Ahora considere una ecuación simple/identidad como $6 = 2 \times 3$. Los lados separados son expresiones; si sólo dijo "6" en inglés, que es un fragmento de la frase, no una afirmación de hecho. No puede ser evaluado como "verdadero" o "falso", porque no tiene asertiva contenido. No se puede utilizar como una premisa, porque no es una proposición.

Lo que hace algo totalmente formado instrucción en el lenguaje matemático es una relación, más comúnmente es igual (pero, alternativamente, "es menor que", "es mayor que", etc., efectivamente, los verbos de la lengua). La traducción de la ecuación de $6 = 2 \times 3$ a de inglés se "6 es el mismo 2 veces, 3", que es de hecho una frase completa. Esto puede ser comprobado como verdaderas o falsas; se hace una afirmación. Puede ser utilizado como una premisa, porque es una propuesta de un hecho en particular.

En conclusión, tanto de sus profesores son correctos, y ambos de sus pruebas son correctas (aunque la mayoría de nosotros preferiría la más concisa de uno). Cuando uno dice "no usar lo que usted está tratando de demostrar" que no estamos hablando de la aparición de cualquier expresión algebraica de transformación; las expresiones no son ni los locales ni lo que puede ser comprobado; son fragmentos de oraciones. Que estamos hablando de una afirmación de hecho que en matemáticas tiene que ser una declaración que incluya un símbolo relacional (el más común de una ecuación). El hecho de que usted no empezar por asumir que la igualdad significa que en ambos casos se ha cumplido con el segundo maestro de advertencia.

Answer 4

respuesta corta: la igualdad es simétrica, la implicación no es (ambos son, sin embargo, transitiva)

respuesta larga:

• Tienes razón: si la prueba A = C y B = C para algunos de los términos/expresiones/objetos a,B,C, a continuación, se le permite a la conclusión de que A = B (porque "=" es transitiva y simétrica)

• Su maestro es correcto: si puede probar que algo verdadero se sigue de A = B, es decir, A = B => true, no se le permite concluir a la inversa es decir que a = B, ya que "fiel es verdadero" (porque implicación no es simétrica)

Answer 5

Estoy de acuerdo con @Siddhartha Venu.

Si tenemos que demostrar que a=b,

A veces, en el procedimiento de la PREPA se puede terminar en una etapa(etapa intermedia) que no se puede resolver cualquier más y a seguir para resolver los HR para llegar a la misma etapa

yo.e, a=c y b=c entonces se puede concluir que a=b, este tipo de igualdad problemas a menudo viene en la trigonometría

Muchos de los capítulos como matrices y nuestros normal algaebra tener siempre un paso final en el que directamente se puede establecer una relación (a=b).